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第一篇 概率论基础 3

第1章 可测空间与乘积可测空间 3

1.1 σ代数理论 3

1.1.1 σ代数 3

1.1.2 单调类定理 6

1.2 可测空间和乘积可测空间 8

1.2.1 可测空间 8

1.2.2 有限维乘积可测空间 9

1.2.3 无穷维乘积可测空间 10

1.3 可测映射与随机变量 11

1.3.1 映射、可测映射 12

1.3.2 可测函数——随机变量 13

1.3.3 可测函数的运算 14

1.3.4 函数形式的单调类定理 15

1.3.5 多维随机变量 16

第2章 测度与积分 18

2.1 测度与测度空间 18

2.1.1 测度空间 18

2.1.2 代数上的测度 19

2.1.3 完备测度 19

2.1.4 分布函数及其生成的测度 20

2.2 随机变量的数字特征 22

2.2.1 积分——期望 22

2.2.2 随机变量的矩 24

2.2.3 随机向量的数学特征 26

2.3 随机变量及其收敛性 27

2.3.1 随机变量的等价类 27

2.3.2 几乎必然（a.s.）收敛 28

2.3.3 依概率收敛 29

2.3.4 依分布收敛 30

2.3.5 平均收敛 31

2.4 独立性与零一律 32

2.4.1 独立性 32

2.4.2 零一律 33

2.5 乘积可测空间上的测度 35

2.5.1 有限维乘积空间上的测度 35

2.5.2 无限维乘积空间上的测度 38

第3章 条件期望 41

3.1 广义测度 41

3.1.1 Hahn-Jordan分解 41

3.1.2 Lebesgue分解 44

3.1.3 Radon—Nikodym定理 46

3.2 条件期望 48

3.2.1 条件期望的定义 48

3.2.2 条件期望的性质 51

3.2.3 条件概率分布 54

3.2.4 条件独立性 59

第二篇 鞅 63

第4章 随机过程 63

4.1 随机过程的概念 63

4.2 可料过程 67

4.3 停时 68

4.3.1 连续时间随机过程的停时 68

4.3.2 离散时间随机过程的停时 74

4.3.3 停时随机变量 75

4.3.4 停时过程和截断过程 77

4.4 Lp收敛和一致可积 79

4.4.1 Lp收敛 79

4.4.2 随机变量族的一致可积 81

第5章 鞅 89

5.1 鞅、下鞅和上鞅 89

5.1.1 鞅、下鞅和上鞅的定义 89

5.1.2 鞅的凸理论 92

5.1.3 离散时间的增过程和Doob分解 93

5.1.4 鞅变换 95

5.2 下鞅基本不等式 98

5.2.1 可选停时和可选采样 98

5.2.2 极大极小不等式 103

5.2.3 上穿和下穿不等式 108

5.3 下鞅的收敛性 114

5.3.1 离散时间下鞅的收敛性 114

5.3.2 连续时间下鞅的收敛性 118

5.3.3 用一个最终元素封闭下鞅 121

5.3.4 离散时间L2鞅 123

5.4 一致可积下鞅 126

5.4.1 一致可积下鞅的收敛性 126

5.4.2 逆时间下鞅 127

5.4.3 无界停时的可选采样 130

5.4.4 停时随机变量的一致可积性 134

5.5 下鞅样本函数的正则性 136

5.5.1 右连续下鞅的样本函数 136

5.5.2 下鞅的右连续修正 137

5.6 增过程 139

5.6.1 关于增过程的积分 139

5.6.2 Doob-Meyer分解 143

5.6.3 正则下鞅 148

第三篇 随机积分 155

第6章 随机积分 155

6.1 平方可积鞅和它的二次变差过程 155

6.1.1 右连续L2鞅空间 155

6.1.2 局部有界变差过程 157

6.1.3 二次变差过程 160

6.2 关于鞅的随机积分 164

6.2.1 有界适应左连续简单过程关于L2鞅的随机积分 164

6.2.2 可料过程关于L2鞅的随机积分 167

6.2.3 截断被积函数和用停时停止积分 174

6.3 适应Brownian运动 180

6.3.1 独立增量过程 180

6.3.2 Rd值Brownian运动 181

6.3.3 一维Brownian运动 187

6.3.4 关于Brownian运动的随机积分 191

6.4 随机积分的推广 194

6.4.1 局部平方可积（L2）鞅和它们的二次变差 194

6.4.2 随机积分对局部鞅的推广 199

6.5 关于拟鞅的It？公式 203

6.5.1 连续局部半鞅和关于拟鞅的It？公式 203

6.5.2 关于拟鞅的随机积分 205

6.5.3 指数拟鞅 207

6.5.4 关于拟鞅的多维It？公式 209

6.6 It？随机微积分 213

6.6.1 随机微分的空间 213

6.6.2 It？过程 216

6.6.3 矩不等式 220

6.6.4 GRONWALL型不等式 225

第四篇 随机微分方程理论 231

第7章 It？型随机微分方程的一般理论 231

7.1 随机微分方程概述 231

7.1.1 问题介绍 231

7.1.2 随机微分方程的解的定义 231

7.1.3 随机微分方程的实例 232

7.2 解的存在和唯一性 235

7.2.1 解的存在和唯一性定理 235

7.2.2 解的存在和唯一性定理的推广 240

7.3 解的估计 242

7.3.1 解的Lp-估计 242

7.3.2 解的几乎处处渐进估计 246

7.4 It？型随机微分方程的近似解 253

7.4.1 Caratheodory近似解 254

7.4.2 EULER-MARUYAMA近似解 257

7.5 SDE和PDE：FEYNMAN-KAC公式 259

7.5.1 Dirichlet问题 259

7.5.2 初始边界值问题 261

7.5.3 Cauchy问题 262

7.6 随机微分方程解的MARKOV性 264

第8章 线性随机微分方程 270

8.1 线性随机微分方程简介 270

8.2 随机Liouville公式 271

8.3 常数变异公式 274

8.4 几种特殊情形的研究 276

8.4.1 标量线性方程 276

8.4.2 狭义线性方程 277

8.4.3 自治线性方程 277

8.5 某些特殊的线性随机微分方程 278

第9章 随机微分方程的稳定性 284

9.1 稳定性的一般概念 284

9.2 解的依概率稳定性 287

9.3 解的几乎必然指数稳定性 295

9.4 解的矩指数稳定性 302

9.5 随机稳定化与不稳定化 309

9.6 解稳定性的进一步论题 314

参考文献 319

索引 320