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第1章 基础知识 1

1.1几个基本空间的定义 1

1.1.1距离空间 1

1.1.2线性空间 2

1.1.3线性赋范空间 2

1.1.4Hilbert空间 4

1.2线性算子与线性泛函 4

1.2.1线性算子 4

1.2.2线性泛函 6

1.3连续函数空间 8

1.3.1 Cm（Ω）空间的完备性 8

1.3.2 Cm，λ（Ω）空间的完备性 10

1.4 Hilbert空间的Riesz表示定理与Lax-Milgram定理 12

第2章 Lp（Ω）空间及其基本性质 14

2.1 Lp（Ω）空间 14

2.1.1 Lp（Ω）空间的定义 14

2.1.2 Holder不等式、Minkowski不等式和Lp（Ω）范数的内插不等式 15

2.1.3 Lp（Ω）空间的完备性 22

2.1.4 Lp（Ω）空间的一致凸性 24

2.1.5 Lp（Ω）空间的一个嵌入定理 32

2.1.6 Cc（Ω）空间在Lp（Ω）空间中的稠密性 34

2.1.7卷积、函数的正则化和C∞c（Ω）空间在Lp（Ω）空间中的稠密性 36

2.1.8 Lp（Ω）空间的可分性 46

2.1.9 Lp（Ω）空间元素的整体连续性 47

2.2 Lp（Ω）空间上线性泛函的表示形式 49

2.2.1预备知识 49

2.2.2 Lp（Ω）空间的Riesz表示定理 55

2.3 Lp（Ω）空间的弱完备性 60

2.3.1紧集的定义和关于强紧集定理 60

2.3.2 Lp（Ω）空间的弱完备性与弱紧集定理 60

2.4弱Lp（Ω）空间、Marcinkiewicz插值定理 65

2.4.1弱Lp（Ω）空间、次线性算子、强型算子和弱型算子 65

2.4.2 Marcinkiewicz插值定理 69

2.4.3 Minkowski积分不等式 69

2.5混合范数Lp空间 74

2.6 Lp（Ω）空间中的准紧集 75

第3章 整数阶索伯列夫空间Wmn，p（Ω）及其基本性质 79

3.1广义函数 79

3.1.1广义函数的性质 80

3.1.2广义函数的支集 85

3.1.3广义函数的直积 85

3.1.4广义函数的卷积 89

3.1.5广义函数的导数 95

3.2 Wm，p（Ω）空间及其性质 99

3.3单位分解定理 110

3.4区域的几何性质 113

3.5 C∞c（RN，Ω）在Wm，p（Ω）中的稠密性 120

3.6 Hm，p（Ω）空间 124

3.7对偶性与空间W-m，p’（Ω） 125

3.7.1 Wm，p（Ω）的对偶与Wm 0，p（Ω）的赋范对偶 126

3.7.2空间Lp’（Ω）的（-m，p’）范数 128

3.8差商与空间W 1，p（Ω） 129

第4章 索伯列夫空间的嵌入定理和插值定理 132

4.1嵌入的含义、坐标变换 132

4.1.1嵌入的含义 132

4.1.2坐标变换 137

4.2嵌入定理 141

4.3作为Banach代数的Wm，p（Ω）空间 158

4.4插值定理 163

4.5紧嵌入定理 180

4.6延拓定理 188

4.7边界迹 194

4.8 Poincare不等式和Wm 0，p（Ω）的一个等价范数 197

第5章 含有时间的空间 199

5.1抽象函数 199

5.2抽象函数的Bochner积分 202

5.3含有时间的空间 207

5.3.1 Lp（（0，T）；X）空间的完备性 207

5.3.2 L∞（（0，T）；X）空间的完备性 209

5.4含有时间的索伯列夫空间 211

5.5 Aubin引理 215

第6章 索伯列夫空间在偏微分方程中的应用（Ⅰ） 219

6.1预备知识 219

6.1.1 Gronwall不等式（微分形式） 219

6.1.2 Gronwall不等式（积分形式） 220

6.1.3 Jensen不等式 221

6.1.4 Leray-Schauder不动点定理 221

6.2广义Ginzburg-Landau模型方程的初边值问题 222

6.2.1初边值问题（6.2.2）-（6.2.4）整体解的存在性与唯一性 223

6.2.2解的渐近性质 241

6.3一般线性椭圆型方程的Dirichlet问题 242

6.4具阻尼非线性双曲型方程的初边值问题 244

6.5广义立方双色散方程的初边值问题 251

6.6一类四阶非线性发展方程初边值问题解的渐近性质 257

6.7广义IMBq型方程组的初边值问题 260

6.7.1问题的提出和广义解的定义 261

6.7.2初边值问题（6.7.17），（6.7.19），（6.7.21）的整体解 264

6.7.3问题（6.7.16）-（6.7.21）的整体解 275

第7章 离散函数空间的插值公式和应用 277

7.1一个指标的离散函数 277

7.1.1离散函数的插值公式 277

7.1.2关于离散函数指数为α的Holder系数的不等式 285

7.1.3一个离散函数的不等式 286

7.1.4有限维空间连续映射的不动点定理 288

7.2广义Schrodinger型方程组初边值问题的有限差分法 288

7.2.1有限差分方程组（7.2.3）h和有限差分边值条件（*）h解的存在性和唯一性 290

7.2.2有限差分方程组（7.2.3）h在适当的有限差分边值条件（*）h和离散的初值条件（7.2.8）h下解的先验估计 292

7.2.3当h2+△t2→0时，有限差分方程组（7.2.3）h，（*）h，（7.2.8）h的离散向量解v△=﹛v n j|j=0，1，…，J；n=0，1，…，N﹜的收敛性 299

第8章 分数阶索伯列夫空间 307

8.1速降函数、缓增广义函数 307

8.1.1速降函数 307

8.1.2缓增广义函数 310

8.2 Fourier变换 314

8.2.1 ψ空间中函数的Fourier变换 314

8.2.2 ψ’空间中函数的Fourier变换 320

8.2.3 Lebesgue空间中函数的Fourier变换 324

8.3分数阶索伯列夫空间Hs（R N） 333

8.4 Hs（R N）空间范数的内插 342

8.5分数阶索伯列夫空间Hs（Ω） 343

第9章 索伯列夫空间在偏微分方程中的应用（Ⅱ） 349

9.1具阻尼项的N维广义IMBq方程的Cauchy问题 349

9.1.1问题的来历 349

9.1.2 Cauchy问题（9.1.2），（9.1.3）在C2（［0，∞）；Hs）中整体解的存在唯一性和解的爆破 350

9.2 Cauchy问题（9.1.2），（9.1.3）在C3（［0，∞）；W m，p∩L∞∩L2）中的整体解的存在唯一性和解的爆破 367

9.3具Stokes阻尼项的IMBq方程的Cauchy问题 376

9.3.1辅助问题（9.3.3），（9.3.4）整体解的存在性和唯一性 376

9.3.2 Cauchy问题（9.3.1），（9.3.2） 385

参考文献 390

附录 396

索引 401

《现代数学基础丛书》已出版书目 406