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第一部分 基础篇 3

第一章 对称与群 3

1.1 平面图形的对称与群 3

1.1.1 运动群 3

1.1.2 平面图形对称的数学定义 5

1.2 多项式的对称与群 6

第二章 群 9

2.1 群 9

2.1.1 群的定义 9

2.1.2 群的同构和反同构 11

2.1.3 一个写法问题 13

2.2 子群 15

2.2.1 一点准备 16

2.2.2 子群的定义 17

2.2.3 两类特殊子群 19

2.3 生成元集，循环群 21

2.3.1 生成元集 21

2.3.2 循环群 25

2.4 子群（续） 27

2.4.1 平面运动群的有限子群 27

2.4.2 Sn的子群 29

2.5 商群 31

2.5.1 合同关系与合同划分 31

2.5.2 商群 33

2.5.3 商群与正规子群 34

2.6 同态 37

2.6.1 同态的定义 37

2.6.2 同态与商群 39

2.7 有限群 42

2.7.1 有限群中的数量关系 42

2.7.2 交换群的子群存在问题 43

2.7.3 Sylow子群的存在问题 44

2.8 单群 46

2.9 群在集上的作用 50

2.9.1 G－集的定义 50

2.9.2 群的表示与G－集 50

2.9.3 G－集的结构 52

2.9.4 G－集的应用 54

第三章 环与域 59

3.1 环与域 59

3.1.1 环的定义及基本性质 59

3.1.2 子环 63

3.1.3 同态、理想、商环 64

3.2 环的构造 71

3.2.1 模仿由Z到Q 71

3.2.2 模仿由Q到R 74

3.2.3 模仿由R到C 77

3.2.4 由群作代数 79

3.3 多项式环 80

3.3.1 R上一元多项式函数环 81

3.3.2 R上一元多项式环 82

3.3.3 两者之间的关系 83

3.3.4 R上多元多项式环 84

3.4 交换环 86

3.4.1 整环的特征 86

3.4.2 整环的商环 87

3.4.3 素理想和极大理想 88

3.5 整环的整除理论 90

3.5.1 出发点 90

3.5.2 整除理论的基本概念 92

3.5.3 唯一分解环、Euclid环、主理想整环 93

3.5.4 多项式环的整除理论 98

第四章 多项式的分裂域 104

4.1 域 104

4.1.1 扩域 104

4.1.2 有限扩域 106

4.1.3 代数扩域 106

4.1.4 一元多项式及其根的性质 107

4.2 分裂域 109

4.2.1 单扩域 109

4.2.2 分裂域 111

4.2.3 分裂域的存在性 112

4.2.4 分裂域的唯一性 113

4.3 有限域（分裂域的一个应用） 115

4.3.1 有限域的存在性 115

4.3.2 有限域的结构 117

4.3.3 例子 118

4.4 正规扩域（分裂域续） 121

4.4.1 正规扩域的定义 121

4.4.2 正规扩域＝分裂域 121

4.4.3 分裂域是单扩域 123

4.4.4 分裂域的Galois群 124

4.5 尺规作图不能问题 126

第二部分 选学篇 135

第五章 群论 135

5.1 有限交换群的结构定理 135

5.1.1 一些准备 135

5.1.2 分解成p－加群的直和 136

5.1.3 p－加群的再分解 137

5.1.4 群的构造 139

5.1.5 主要定理 140

5.1.6 例子 141

5.2 群的构造，自由群 143

第六章 环论与模论 151

6.1 环的表示与模 151

6.1.1 表示与模 151

6.1.2 模的基本概念 154

6.1.3 模论观点下的有限交换群结构定理 156

6.2 有限单环的结构定理 158

6.2.1 定义及例子 158

6.2.2 模论方面的准备——单模对应的表示 159

6.2.3 单模给出的有限单环的表示 161

6.2.4 主要定理 161

6.3 布尔代数 164

6.3.1 布尔代数的背景 164

6.3.2 布尔代数 166

6.3.3 布尔函数与布尔多项式函数 167

6.3.4 积和标准布尔多项式 168

6.3.5 布尔函数与布尔多项式函数（续） 169

6.3.6 和积标准布尔多项式 170

6.3.7 回到开关电路 170

6.4 Zorn引理 171

第七章 域论 175

7.1 Galois基本定理 175

7.2 一个例子 183

7.3 用根式解代数方程问题 188

7.4 有限域的一个应用——编码 193

第八章 多元多项式环（代数几何初步） 202

8.1 代数簇 202

8.2 Hilbert基定理 206

8.3 代数簇的分解 210

8.4 Gr？bner基 214

8.5 Buchberger算法 220

8.6 初等几何的机器证明 226

参考文献 231

符号表 232

索引 233