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第一章 函数与极限 1

1.1 函数的概念 1

一、函数的定义 1

二、函数的表示法和函数记号 2

三、函数的定义域 4

四、函数的几种特性 5

习题1-1 7

1.2 反函数、复合函数、初等函数 8

一、反函数 8

二、复合函数 10

三、基本初等函数 10

四、初等函数 11

习题1-2 11

1.3 极限的概念 12

一、数列的极限 12

二、函数的极限 15

习题1-3 19

1.4 极限的运算法则 19

一、无穷小与无穷大 19

二、极限运算法则 21

习题1-4 27

1.5 两个重要极限 27

习题1-5 31

1.6 无穷小的比较 32

习题1-6 33

1.7 函数的连续性 34

一、函数连续性的概念 34

二、函数的间断点 36

三、连续函数的运算 37

四、初等函数的连续性 39

五、闭区间上连续函数的性质 40

习题1-7 41

第二章 导数与微分 43

2.1 导数的概念 43

一、变化率问题举例 43

二、导数的定义 44

三、导数的几何意义 47

四、函数的可导性与连续性之间的关系 48

习题2-1 48

2.2 基本初等函数的导数 50

一、根据导数的定义可直接求出几个基本初等函数的导数 50

二、反函数的导数 52

三、导数基本公式 53

习题2-2 53

2.3 函数的和、差、积、商的求导法则 54

一、函数和、差的求导法则 54

二、常数与函数乘积的求导法则 55

三、函数积的求导法则 56

四、函数商的求导法则 57

习题2-3 58

2.4 复合函数的求导法则 59

习题2-4 62

2.5 隐函数及由参数方程确定的函数的导数 63

一、隐函数的导数 63

二、由参数方程确定的函数的导数 65

习题2-5 66

2.6 函数的微分 67

一、微分的定义 67

二、微分的几何意义 70

三、微分公式与微分运算法则 70

四、微分的应用 72

习题2-6 74

2.7 高阶导数与高阶微分 75

一、高阶导数 75

二、高阶微分 76

习题2-7 77

第三章 中值定理与导数的应用 79

3.1 中值定理 79

一、罗尔定理 79

二、拉格朗日中值定理 80

三、柯西中值定理 82

习题3-1 83

3.2 罗必塔法则 84

习题3-2 88

3.3 泰勒公式 92

习题3-3 92

3.4 函数单调性的判定法 92

习题3-4 94

3.5 函数的极值及其求法 94

习题3-5 97

3.6 最大值、最小值问题 97

习题3-6 99

3.7 曲线的凹凸与拐点 99

习题3-7 102

3.8 函数图形的描绘 102

习题3-8 106

3.9 用切线法求方程的近似解 106

习题3-9 108

第四章 不定积分 109

4.1 不定积分的概念与性质 109

一、原函数与不定积分的概念 109

二、基本积分表 111

三、不定积分的性质 112

习题4-1 114

4.2 换元积分法 114

一、第一类换元积分法 115

二、第二类换元积分法 120

习题4-2 124

4.3 分部积分法 126

习题4-3 130

4.4 几种特殊类型函数的积分 130

一、有理函数的积分 130

二、三角函数的有理式的积分 133

三、简单无理函数的积分 134

习题4-4 136

4.5 积分表的使用 137

习题4-5 139

第五章 定积分 140

5.1 定积分的概念和基本性质 140

一、问题的提出 140

二、定积分的定义 142

三、定积分的几何意义 143

四、定积分的性质 144

习题5-1 146

5.2 微积分基本定理 147

习题5-2 149

5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 150

一、定积分的换元积分法 150

二、定积分的分部积分法 151

习题5-3 153

5.4 广义积分 153

一、无穷区间上的广义积分 154

二、被积函数有无穷间断点的广义积分 155

习题5-4 157

第六章 定积分的应用 159

6.1 定积分的元素法 159

6.2 平面图形的面积 161

一、直角坐标情形 161

二、极坐标情形 163

习题6-2 165

6.3 体积 166

一、旋转体的体积 166

二、平行截面面积为已知的立体的体积 168

习题6-3 170

6.4 平面曲线的弧长 171

一、直角坐标情形 171

二、参数方程情形 172

习题6-4 173

6.5 功水压力 174

一、变力沿直线所做的功 174

二、水压力 177

习题6-5 178

6.6 平均值 179

一、函数的平均值 179

二、均方根 181

习题6-6 182

第七章 空间解析几何与向量代数 184

7.1 向量及其运算 184

一、向量的概念 184

二、向量的加减法 185

三、向量与数量的乘法 185

习题7-1 186

7.2 空间直角坐标系与向量的坐标表示 187

一、空间直角坐标系 187

二、向量的坐标表示法 189

三、向量的模与方向余弦 192

习题7-2 194

7.3 数量积与向量积 194

一、数量积 194

二、向量积 196

习题7-3 197

7.4 平面及其方程 198

一、平面的点法式方程 198

二、平面的一般方程 199

三、有关平面的一些其他问题 200

习题7-4 201

7.5 空间直线的方程 202

一、空间直线的点向式方程 202

二、空间直线的参数方程 202

三、空间直线的一般方程 203

习题7-5 204

7.6 空间曲面 204

一、曲面方程与球面方程 204

二、柱面 205

三、旋转曲面 206

四、空间曲线 207

五、曲线在坐标面上的投影 208

六、常见的几种二次曲面 209

习题7-6 212

第八章 多元函数微分学 214

8.1 多元函数的概念 214

一、多元函数关系应用举例 214

二、二元函数的定义 214

三、二元函数的几何意义 216

四、二元函数的极限 217

五、二元函数的连续性 219

习题8-1 220

8.2 偏导数与全微分 221

一、偏导数 221

二、全微分 224

习题8-2 228

8.3 多元复合函数微分法与隐函数微分法 229

一、多元复合函数微分法 229

二、隐函数微分法 234

习题8-3 236

8.4 高阶偏导数 237

习题8-4 239

8.5 多元函数的极值与最值 239

一、极值的定义 239

二、极值存在的必要条件 240

三、极值存在的充分条件 241

四、最大值和最小值 242

五、条件极值 243

习题8-5 246

8.6 偏导数的几何应用 247

一、空间曲线的切线与法平面 247

二、曲面的切平面与法线 249

习题8-6 251

选做题 251

第九章 多元函数积分学 254

9.1 二重积分的概念 254

一、二重积分问题举例 254

二、二重积分的定义 255

三、二重积分的性质 256

习题9-1 257

9.2 二重积分的计算 258

一、直角坐标系下二重积分的计算 258

二、二重积分的一般变量替换公式 262

三、极坐标系下二重积分的计算 264

习题9-2 268

9.3 广义二重积分 270

习题9-3 273

9.4 二重积分的应用 274

一、曲面面积 274

二、重心 276

习题9-4 278

选做题 278

9.5 三重积分的概念及其计算 279

习题9-5 283

9.6 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 284

一、利用柱面坐标计算三重积分 284

二、利用球面坐标计算三重积分 286

习题9-6 290

9.7 含参变量的积分 291

习题9-7 297

第十章 微分方程 298

10.1 微分方程的概念 298

一、实践中的微分方程举例 298

二、微分方程的基本概念 299

三、微分方程解的几何意义 300

习题10-1 301

10.2 一阶微分方程 301

一、可分离变量的微分方程 302

二、齐次方程 303

三、一阶线性微分方程 304

四、应用举例 307

习题10-2 309

10.3 可降阶的高阶微分方程 309

一、y(n)=f(x)型微分方程 310

二、y″=f(x，y′)型微分方程 310

三、y″=f(y,y′)型微分方程 311

习题10-3 312

10.4 二阶常系数线性微分方程 313

一、二阶常系数齐次线性微分方程 313

二、二阶常系数非齐次线性微分方程 317

习题10-4 321

10.5 若干生长模型选例 322

一、单分子生长模型 322

二、Gompers函数 322

三、Richards函数 323

四、相对增长率是时间的减函数 323

第十一章 级数 324

11.1 级数的概念与性质 324

一、级数的概念 324

二、级数的基本性质 326

三、级数收敛的必要条件 326

习题11-1 327

11.2 正项级数 328

一、正项级数收敛的充分必要条件 328

二、正项级数收敛性的判别法 329

习题11-2 331

11.3 任意项级数 331

一、交错级数 331

二、绝对收敛与条件收敛 333

习题11-3 334

11.4 幂级数 334

一、幂级数的收敛半径 335

二、幂级数的性质 336

习题11-4 338

11.5 函数的幂级数展开式 338

一、泰勒（Taylor）级数 338

二、函数展开成幂级数 340

三、函数的幂级数展开式的应用 343

习题11-5 346

11.6 傅立叶级数 346

一、三角级数、三角函数系的正交性 346

二、函数展开成傅立叶级数 349

习题11-6 355

11.7 正弦级数和余弦级数 356

一、奇函数和偶函数的傅立叶级数 356

二、函数展开成正弦级数或余弦级数 359

习题11-7 360

11.8 周期为2l的周期函数的傅立叶级数 361

习题11-8 364

附录 积分表 366

习题参考答案 377

主要参考文献 417