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第一章 函数、极限与连续 1

第一节 函数 1

一、预备知识 1

二、函数的概念及表示法 2

三、函数的特性 5

四、反函数 6

五、基本初等函数 7

六、复合函数 9

七、初等函数 10

习题1-1 11

第二节 极限的概念及性质 12

一、数列的极限 12

二、函数的极限 16

习题1-2 20

第三节 无穷小与无穷大 20

一、无穷小 20

二、无穷大 22

三、无穷小和无穷大的关系 23

习题1-3 23

第四节 极限的运算法则 23

一、极限的运算法则 23

二、极限求法举例 24

三、复合函数的极限运算法则 26

习题1-4 27

第五节 极限存在准则两个重要极限 27

一、极限存在准则 27

二、两个重要极限 28

习题1-5 30

第六节 无穷小的比较 31

习题1-6 33

第七节 函数的连续与间断 33

一、函数的连续性 33

二、函数的间断点 35

习题1-7 36

第八节 初等函数的连续性 37

一、连续函数的四则运算法则 37

二、反函数的连续性 37

三、复合函数的连续性 37

四、初等函数的连续性 38

习题1-8 39

第九节 闭区间上连续函数的性质 40

习题1-9 41

本章学习要点 41

总复习题一 42

第二章 导数与微分 44

第一节 导数的概念 44

一、问题的提出 44

二、导数的概念 45

三、单侧导数 46

四、几个基本初等函数的导数 47

五、导数的几何意义 49

六、函数的可导性与连续性的关系 49

习题2-1 50

第二节 四则运算及反函数的求导法则 51

一、四则运算的求导法则 51

二、反函数的求导法则 53

习题2-2 55

第三节 复合函数的导数及初等函数求导 55

一、复合函数的求导法则 55

二、初等函数的导数 57

习题2-3 59

第四节 隐函数及参数方程所确定的函数的导数 60

一、隐函数的导数 60

二、对数求导法 61

三、由参数方程所确定的函数的导数 62

习题2-4 63

第五节 高阶导数 64

一、显函数的高阶导数求法 64

二、隐函数的高阶导数求法 66

三、参数方程确定的函数的高阶导数 66

习题2-5 67

第六节 函数的微分及应用 67

一、微分的定义 67

二、微分的几何意义 69

三、微分公式与微分运算法则 69

四、微分在近似计算中的应用 70

习题2-6 72

本章学习要点 72

总复习题二 74

数学家的故事 75

第三章 中值定理与导数的应用 76

第一节 微分中值定理 76

一、罗尔定理 76

二、拉格朗日中值定理 78

三、柯西中值定理 80

习题3-1 81

第二节 洛必达法则 81

一、0/0型未定式 81

二、∞/∞型未定式 83

三、其他形式的未定式 84

习题3-2 85

第三节 泰勒（Taylor）公式 86

一、泰勒公式 86

二、麦克劳林公式 87

习题3-3 88

第四节 函数单调性与曲线的凹凸性 89

一、函数的单调性 89

二、曲线的凹凸性 90

三、拐点 91

习题3-4 92

第五节 函数的极值及最值 93

一、函数的极值 93

二、最值 96

习题3-5 98

第六节 函数图形描绘 99

一、渐近线 99

二、函数图形描绘 100

习题3-6 102

本章学习要点 102

总复习题三 102

数学家的故事 104

第四章 不定积分 106

第一节 不定积分的基本概念与性质 106

一、原函数与不定积分的概念 106

二、基本积分表 107

三、不定积分的性质 108

习题4-1 110

第二节 换元积分法 110

一、第一类换元积分法 110

二、第二类换元积分法 115

习题4-2 118

第三节 分部积分法 119

习题4-3 122

第四节 几种特殊函数的不定积分 123

一、有理函数积分 123

二、三角函数有理武的积分 125

三、简单无理函数的积分 126

习题4-4 127

本章学习要点 128

总复习题四 128

数学家的故事 129

第五章 定积分及其应用 130

第一节 定积分的概念与性质 130

一、定积分问题举例 130

二、定积分的定义 132

三、定积分的几何意义 133

四、定积分的性质 134

习题5-1 137

第二节 微积分基本定理 137

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系 137

二、积分上限的函数及其导数 138

三、牛顿—莱布尼茨公式 139

习题5-2 141

第三节 定积分的计算 142

一、定积分的换元积分法 142

二、定积分的分部积分法 145

习题5-3 146

第四节 定积分的近似计算 148

一、矩形法 148

二、梯形法 148

习题5-4 150

第五节 定积分的应用 150

一、定积分的微元法 150

二、平面图形的面积 152

三、体积 155

四、平面曲线的弧长 157

五、在经济学中的应用 158

六、变力做功 159

习题5-5 160

第六节 广义积分 162

一、无穷区间上的广义积分 162

二、无界函数的广义积分 164

习题5-6 165

本章学习要点 166

总复习题五 167

数学家的故事 169

第六章 多元函数微分学 171

第一节 空间解析几何的基础知识 171

一、空间直角坐标系 171

二、空间平面 173

三、曲面 174

四、空间曲线及投影 178

习题6-1 180

第二节 多元函数的概念 181

一、邻域与区域 181

二、多元函数的概念 182

三、多元函数的极限 184

四、多元函数的连续性 185

习题6-2 186

第三节 偏导数 186

一、偏导数的定义及其计算方法 186

二、高阶偏导数 189

习题6-3 190

第四节 全微分及其应用 191

一、全微分的概念 191

二、全微分在近似计算中的应用 193

习题6-4 194

第五节 多元复合函数的求导法则 194

一、中间函数为一元函数的情形 194

二、中间函数为二元函数的情形 195

三、一种特殊的情形 196

习题6-5 197

第六节 隐函数的求导公式 197

习题6-6 199

第七节 多元函数的极值 199

一、多元函数的极值 199

二、最大值与最小值 201

三、条件极值 202

习题6-7 203

本章学习要点 203

总复习题六 205

第七章 二重积分 207

第一节 二重积分的概念与性质 207

一、二重积分的概念 207

二、二重积分的性质 209

习题7-1 210

第二节 二重积分的计算 211

一、直角坐标系下二重积分的计算 211

二、极坐标系下二重积分的计算 216

习题7-2 219

第三节 二重积分的应用 220

一、空间几何体的体积 220

二、曲面的面积 221

三、平面薄片的质量 222

习题7-3 223

本章学习要点 223

总复习题七 224

第八章 微分方程 226

第一节 微分方程的基本概念 226

习题8-1 229

第二节 可分离变量的微分方程 229

习题8-2 232

第三节 齐次方程 232

习题8-3 234

第四节 一阶线性微分方程 234

一、一阶线性微分方程 234

二、伯努利方程 237

习题8-4 238

第五节 可降阶的高阶微分方程 239

一、y″=f(x)型的微分方程 239

二、y″=f(x,y′)型的微分方程 240

三、y″=f(y,y′)型的微分方程 241

习题8-5 242

第六节 二阶线性微分方程 242

一、二阶常系数齐次线性微分方程 243

二、二阶常系数非齐次线性微分方程 246

习题8-6 248

第七节 微分方程模型 249

本章学习要点 251

总复习题八 252

数学家的故事 253

第九章 差分方程 255

第一节 差分方程的基本概念 255

一、差分概念 255

二、差分方程 256

三、差分方程的解 257

习题9-1 258

第二节 一阶常系数线性差分方程 258

一、一阶常系数齐次线性差分方程 259

二、一阶常系数非齐次线性差分方程 260

习题9-2 262

第三节 二阶常系数线性差分方程 262

一、二阶常系数齐次线性差分方程 262

二、二阶常系数非齐次线性差分方程 264

习题9-3 265

第四节 差分方程的简单应用 265

一、筹措教育经费方面 265

二、分期偿还贷款方面 266

习题9-4 267

本章学习要点 267

总复习题九 268

第十章 无穷级数 269

第一节 无穷级数的概念与性质 269

一、无穷级数的概念 269

二、收敛级数的基本性质 273

习题10-1 274

第二节 常数项级数的审敛法 274

一、正项级数及其审敛法 274

二、交错级数及其审敛法 278

三、绝对收敛与条件收敛 279

习题10-2 280

第三节 幂级数 281

一、函数项级数 281

二、幂级数及其收敛性 281

三、幂级数的基本性质 284

习题10-3 286

第四节 函数的幂级数展开 286

一、泰勒级数的概念 286

二、函数展开成幂级数 287

习题10-4 291

第五节 函数的幂级数展开式的应用 292

一、近似计算 292

二、欧拉公式 294

习题10-5 295

本章学习要点 295

总复习题十 297

数学家的故事 298

第十一章 微积分数学实验 300

第一节 MATLAB基本用法 300

第二节 函数与极限实验 313

第三节 导数与微分实验 320

第四节 不定积分、定积分和广义积分实验 323

第五节 多元函数微积分实验 327

第六节 微分方程实验 333

第七节 泰勒级数实验 335

习题参考答案 339

主要参考文献 361