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第1章 预备知识 1

1.1常用不等式 1

1.2置换矩阵和主子矩阵 5

1.2.1置换矩阵与酉矩阵 5

1.2.2主子矩阵与Schur补 6

1.2.3 Sherman-Morrison-Woodbury公式 10

1.3正规矩阵 10

1.3.1 Schur定理 10

1.3.2正规矩阵 11

1.3.3两个矩阵同时对角化或三角化 14

1.3.4实反对称矩阵的有关理论 16

1.3.5 H-合同与T-合同 18

1.4向量范数和矩阵范数 19

1.4.1向量范数 19

1.4.2方阵范数 22

1.4.3长方阵范数 26

1.4.4矩阵范数的性质 27

1.4.5范数的应用 29

1.5矩阵分析 33

1.5.1矩阵序列的极限 33

1.5.2矩阵级数和矩阵幂级数 34

1.5.3矩阵函数 37

1.5.4常用矩阵函数的性质 41

1.5.5函数矩阵微积分 42

1.5.6一阶常系数线性微分方程组的解 44

1.6特征值的估计与表示 45

1.6.1 Gerschgorin定理 45

1.6.2 Hermite矩阵特征值的表示 48

1.7矩阵的特殊乘积 51

1.7.1 Kronecker积 51

1.7.2 Hadamard积和Fan积 54

1.7.3 Khatri-Rao积 56

1.8矩阵分解与广义逆矩阵 57

1.8.1奇异值分解 57

1.8.2三角分解 58

1.8.3 Drazin逆 61

1.8.4广义左逆和右逆 65

1.9非负矩阵 66

1.9.1非负矩阵的基本性质 66

1.9.2不可约矩阵 70

1.9.3 Perron-Frobenius定理 73

1.9.4正矩阵与素矩阵 79

1.9.5随机矩阵 85

1.10迭代法与矩阵分裂 87

1.10.1迭代法的基本原理 87

1.10.2常用迭代法 90

1.10.3矩阵的正则分裂 95

1.11线性关系式组的相容性条件 98

参考文献 101

第2章 正定矩阵与稳定矩阵 103

2.1 Hermite正定矩阵 103

2.1.1定义和等价条件 103

2.1.2乘积矩阵的正定性 106

2.1.3有关不等式 108

2.1.4在迭代法中的应用 111

2.2正定矩阵 114

2.2.1定义和基本性质 114

2.2.2合同标准形 118

2.2.3正定矩阵的主子矩阵 122

2.3正定矩阵的有关结果 128

2.3.1乘积矩阵的正定性 128

2.3.2行列式不等式 133

2.4广义正定矩阵与P-矩阵 144

2.4.1广义正定矩阵 144

2.4.2 P-矩阵 153

2.4.3正定矩阵类的包含关系 157

2.5复正定矩阵 158

2.5.1复正定矩阵 158

2.5.2 H-合同标准形 160

2.5.3复正定矩阵的主子矩阵 162

2.5.4乘积矩阵的复正定性 162

2.5.5行列式不等式 163

2.5.6迹不等式 165

2.5.7复广义正定矩阵 166

2.6稳定矩阵 167

2.6.1线性系统的稳定性 168

2.6.2正稳定矩阵 174

2.6.3一般惯性定理 177

2.6.4 Routh-Hurwitz判定方法 184

2.7其他稳定矩阵类 190

2.7.1 D-稳定矩阵 190

2.7.2强稳定矩阵与V.L.稳定矩阵 193

2.7.3 P0-矩阵 195

2.7.4低阶矩阵稳定性的判定 197

2.7.5稳定矩阵类的包含关系 204

2.8振荡矩阵 206

2.8.1相伴矩阵及其性质 206

2.8.2全非负矩阵与全正矩阵 208

2.8.3振荡矩阵 218

2.9 Jacobi矩阵 224

2.9.1定义及Sturm性质 224

2.9.2特征值与特征向量 226

2.9.3全非负性与振荡性准则 230

2.9.4稳定性判定 231

参考文献 233

第3章 对角占优矩阵 241

3.1严格对角占优矩阵 241

3.1.1严格对角占优矩阵 241

3.1.2元素严格对角占优矩阵 248

3.2不可约弱对角占优矩阵 250

3.3具非零元素链对角占优矩阵 252

3.3.1具非零元素链对角占优矩阵 252

3.3.2半强对角占优矩阵 254

3.4广义严格对角占优矩阵 257

3.4.1定义和基本性质 257

3.4.2 Nekrasov矩阵 263

3.5判定广义严格对角占优矩阵的充分条件 265

3.5.1连对角占优性 265

3.5.2构造压缩因子 266

3.5.3行模比值之和 273

3.5.4细分指标集 277

3.6广义严格对角占优矩阵的迭代判定 281

3.6.1充要条件 281

3.6.2充分条件 290

3.6.3广义Nekrasov矩阵的判定 292

3.6.4数值算例 296

3.7 a-对角占优矩阵 299

3.7.1 a-链对角占优矩阵 299

3.7.2 a-对角占优矩阵 307

3.7.3对角占优矩阵的包含关系 312

3.8共轭对角占优矩阵 312

3.8.1共轭对角占优矩阵 312

3.8.2比较矩阵的共轭对角占优性 316

3.9分块对角占优矩阵 318

参考文献 325

第4章M-矩阵与H-矩阵 340

4.1非奇M-矩阵的定义及基本性质 340

4.1.1定义及基本性质 340

4.1.2非奇M-矩阵的乘积 347

4.2非奇M-矩阵的判定 349

4.2.1三角M-矩阵的判定 349

4.2.2利用顺序主子式判定 350

4.2.3 S-矩阵的判定 353

4.2.4利用对称分量判定 354

4.3一些特殊的实方阵 355

4.3.1逆正矩阵与单调矩阵 355

4.3.2半正矩阵 358

4.3.3具有正对角元素的广义严格对角占优矩阵 358

4.3.4实特征值为正值的实方阵 360

4.4非奇M-矩阵的等价条件 363

4.4.1 50个充要条件介绍 363

4.4.2 50个条件的包含关系 369

4.5一般M-矩阵 373

4.5.1 M-矩阵的定义与基本性质 373

4.5.2不可约M-矩阵 376

4.5.3广义逆正矩阵 379

4.5.4 M-矩阵的等价条件 384

4.5.5可约奇异M-矩阵 387

4.6具有“性质c，，的M-矩阵 389

4.6.1定义与基本性质 390

4.6.2等价条件 393

4.7逆M-矩阵 399

4.7.1逆M-矩阵的定义与性质 399

4.7.2逆M-矩阵的结构特征 401

4.7.3三对角逆M-矩阵 405

4.7.4逆M0-矩阵 407

4.8 N0-矩阵与F0-矩阵 409

4.8.1 N-矩阵与N0-矩阵 409

4.8.2 F0-矩阵 418

4.8.3 L-矩阵 422

4.9 M-矩阵的有关结果 423

4.9.1逆矩阵∞-范数的估计 423

4.9.2行列式不等式 430

4.9.3最小特征值的估计 436

4.10非奇H-矩阵 439

4.10.1定义与判定方法 439

4.10.2基本性质 441

4.10.3有关不等式 446

参考文献 449

第5章 应用举例 454

5.1迭代法的收敛性 454

5.1.1 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性 454

5.1.2 SOR迭代法和SSOR迭代法的收敛性 456

5.1.3 AOR和SAOR迭代法的收敛性 460

5.1.4 API法的收敛性 463

5.2周期三对角方程组求解 464

5.2.1追赶法与变参数追赶法 464

5.2.2 PE方法与PEk方法 474

5.3线性矩阵方程求解 488

5.3.1 Lyapunov矩阵方程的参数迭代解法 488

5.3.2 Lyapunov矩阵方程的分组迭代解法 493

5.4有限齐次Markov链 499

5.5投入产出分析 509

5.5.1开式Leontief模型 509

5.5.2闭式Leontief模型 517

参考文献 523