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第5章 无穷级数 1

5.1 数项级数的概念与性质 1

5.1.1 数项级数的概念 1

5.1.2 级数的性质 3

习题5.1 6

5.2 数项级数的判敛法 7

5.2.1 正项级数的判敛法 7

5.2.2 任意项级数的判敛法 14

5.2.3 绝对收敛级数的运算性质 19

习题5.2 19

5.3 幂级数 21

5.3.1 函数项级数 21

5.3.2 幂级数及其收敛半径 23

5.3.3 幂级数的性质 26

习题5.3 30

5.4 函数展开为幂级数 31

5.4.1 函数展开为幂级数 31

5.4.2 函数展为幂级数的方法 33

习题5.4 38

5.5 幂级数的应用举例 39

5.5.1 近似计算 39

5.5.2 微分方程的幂级数解法 40

5.5.3 欧拉公式 42

习题5.5 43

5.6 傅里叶级数 43

5.6.1 问题的提出 44

5.6.2 三角函数系的正交性 44

5.6.3 傅里叶级数 46

5.6.4 函数展开为傅里叶级数 47

5.6.5 正弦级数与余弦级数 49

习题5.6 51

5.7 周期为2l的傅里叶级数 52

5.7.1 周期为2l的函数的傅里叶级数展式 52

5.7.2 有限区间上的函数的傅里叶级数 55

习题5.7 61

第6章 向量代数与空间解析几何 63

6.1 空间直角坐标系 63

6.1.1 建立空间直角坐标系 63

6.1.2 空间中点的直角坐标与两点间的距离 64

习题6.1 65

6.2 向量及其线性运算 66

6.2.1 向量概念 66

6.2.2 向量的加法与减法 66

6.2.3 向量的数乘 67

6.2.4 向量的坐标表示 68

6.2.5 向量的方向余弦 70

习题6.2 71

6.3 向量的数量积、向量积、混合积 71

6.3.1 向量的数量积 71

6.3.2 向量的向量积 74

6.3.3 向量的混合积 77

习题6.3 78

6.4 平面与直线 79

6.4.1 平面的方程 79

6.4.2 两平面的关系 82

6.4.3 点到平面的距离 83

6.4.4 直线的方程 83

6.4.5 两直线的位置关系 86

6.4.6 点到直线的距离 87

6.4.7 直线与平面的关系 88

习题6.4 90

6.5 常见曲面 91

6.5.1 球面方程 91

6.5.2 柱面方程 92

6.5.3 旋转曲面 93

6.5.4 二次曲面 94

习题6.5 98

6.6 空间曲线 99

6.6.1 空间曲线的一般方程 99

6.6.2 空间曲线在坐标面上的投影 100

6.6.3 空间曲线的参数方程 102

习题6.6 103

第7章 多元函数微分学 104

7.1 多元函数的极限与连续 104

7.1.1 预备知识 104

7.1.2 多元函数概念 105

7.1.3 二元函数的极限 106

7.1.4 二元函数的连续性 107

习题7.1 109

7.2 偏导数 110

7.2.1 偏导数 110

7.2.2 二元函数偏导数的几何意义 113

7.2.3 高阶偏导数 113

习题7.2 116

7.3 全微分 117

7.3.1 全微分的概念 117

7.3.2 多元函数可微的充分条件 118

7.3.3 全微分在近似计算中的应用 121

7.3.4 二项微分式的原函数 121

习题7.3 123

7.4 复合函数微分法 123

7.4.1 复合函数的偏导数 124

7.4.2 复合函数的全导数及偏导数记号的用法举例 126

7.4.3 复合函数的高阶偏导数 128

7.4.4 方向导数 129

7.4.5 梯度 131

习题7.4 133

7.5 隐函数微分法 134

7.5.1 隐函数的概念 134

7.5.2 一个方程确定的隐函数及其微分法 135

7.5.3 方程组确定的隐函数组及其微分法 137

习题7.5 141

7.6 多元函数微分学在几何上的应用 142

7.6.1 空间曲线的切线与法平面 142

7.6.2 曲面的切平面与法线 146

7.6.3 全微分的几何意义 148

习题7.6 148

7.7 多元函数的极值 149

7.7.1 极值的定义及求法 149

7.7.2 最大值与最小值的求法 150

7.7.3 条件极值 152

习题7.7 156

第8章 多元函数积分学 157

8.1 二重积分的概念和性质 157

8.1.1 两个实例 157

8.1.2 二重积分的定义 158

8.1.3 二重积分的性质 159

习题8.1 161

8.2 二重积分的计算 161

8.2.1 用直角坐标计算二重积分 161

8.2.2 用极坐标计算二重积分 166

习题8.2 173

8.3 三重积分 175

8.3.1 三重积分的概念 175

8.3.2 用直角坐标计算三重积分 176

8.3.3 用柱面坐标计算三重积分 180

8.3.4 用球面坐标计算三重积分 183

习题8.3 187

8.4 第一型曲线积分 189

8.4.1 第一型曲线积分的概念 189

8.4.2 第一型曲线积分的性质 190

8.4.3 第一型曲线积分的计算 191

习题8.4 195

8.5 曲面面积和第一型曲面积分 195

8.5.1 曲面面积 195

8.5.2 第一型曲面积分 197

8.5.3 第一型曲面积分的计算 198

习题8.5 200

8.6 第二型曲线积分 201

8.6.1 定向曲线 201

8.6.2 第二型曲线积分的概念 202

8.6.3 第二型曲线积分的性质 203

8.6.4 第二型曲线积分的计算 204

习题8.6 207

8.7 格林公式及其应用 208

8.7.1 格林（Green）公式 208

8.7.2 平面曲线积分与路径无关的条件 211

8.7.3 全微分方程 215

习题8.7 216

8.8 第二型曲面积分 217

8.8.1 有向曲面 217

8.8.2 第二型曲面积分的概念 217

8.8.3 第二型曲面积分的性质 218

8.8.4 第二型曲面积分的计算 219

习题8.8 223

8.9 高斯公式与散度 224

8.9.1 高斯（Gauss）公式 224

8.9.2 散度 228

习题8.9 230

8.10 斯托克斯公式与旋度简介 231

8.10.1 斯托克斯（Stokes）公式 231

8.10.2 旋度 234

8.10.3 场论“三度”的哈密顿算符表达式 235

习题8.10 236

部分习题参考答案与提示 237

参考文献 256