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开篇 同初学者闲聊微积分 1

第一章 函数、极限与连续 5

1.1 函数及其图形 5

1.1.1 常量与变量 5

1.1.2 区间与邻域 6

1.1.3 函数的概念 6

1.1.4 函数的几种特性 10

1.1.5 反函数 13

1.1.6 基本初等函数及其图形 15

1.1.7 复合函数与初等函数 19

1.1.8 简单函数关系的建立 20

习题1-1 21

1.2 极限的概念 24

1.2.1 数列的极限 24

1.2.2 函数的极限 27

习题1-2 30

1.3 极限的性质及运算法则 31

1.3.1 极限的性质 31

1.3.2 极限的四则运算法则 32

习题1-3 34

1.4 无穷小与无穷大、无穷小的比较 34

1.4.1 无穷小 34

1.4.2 无穷大 36

1.4.3 无穷小的比较 37

习题1-4 38

1.5 求解未定式极限的两种方法 38

1.5.1 两个重要极限及其应用 39

1.5.2 等价无穷小的替换原理及其应用 42

习题1-5 44

1.6 函数的连续性与间断点 44

1.6.1 函数的连续性 44

1.6.2 函数的间断点及其分类 46

1.6.3 初等函数与分段函数的连续性 47

1.6.4 闭区间上连续函数的性质 49

习题1-6 50

第二章 导数与微分 53

2.1 导数的概念 53

2.1.1 导数概念的两个引例 53

2.1.2 导数的定义及几何意义 55

2.1.3 函数可导与连续的关系 59

习题2-1 60

2.2 导数的运算 61

2.2.1 导数的四则运算法则与反函数的求导法则 61

2.2.2 基本初等函数的导数公式 64

2.2.3 复合函数的求导法则 64

2.2.4 分段函数的求导问题 66

2.2.5 高阶导数 67

习题2-2 69

2.3 隐函数和由参数方程所确定的函数的导数 70

2.3.1 隐函数的导数 70

2.3.2 幂指函数的导数与对数求导法 71

2.3.3 由参数方程所确定的函数的导数 73

习题2-3 74

2.4 函数的微分 75

2.4.1 微分的概念及几何意义 75

2.4.2 微分运算法则 78

2.4.3 微分在近似计算中的应用 79

习题2-4 81

第三章 导数的应用 82

3.1 利用导数求解函数的未定式极限 82

3.1.1 洛必达（L'Hospital）法则 82

3.1.2 其他类型的未定式极限 84

习题3-1 85

3.2 函数的单调性与极值 86

3.2.1 如何判断函数的单调性并划分函数的单调区间 86

3.2.2 函数的极值及其求法 88

习题3-2 90

3.3 函数的最大值与最小值 91

3.3.1 闭区间上连续函数的最值求法 91

3.3.2 简单应用问题中的最值求法 92

习题3-3 93

3.4 函数曲线的凹凸性与拐点 94

习题3-4 96

3.5 描绘函数图形 96

3.5.1 曲线的水平渐近线与铅直渐近线 96

3.5.2 描绘函数的图形 97

习题3-5 99

3.6 曲率 100

3.6.1 曲率的计算公式 100

3.6.2 曲率圆和曲率半径 100

习题3-6 102

第四章 不定积分 103

4.1 不定积分的概念与性质 103

4.1.1 原函数与不定积分 103

4.1.2 不定积分的性质 104

4.1.3 不定积分的几何意义 105

习题4-1 106

4.2 不定积分的运算法则与直接积分法 106

4.2.1 不定积分的基本公式 106

4.2.2 不定积分的基本运算法则 107

4.2.3 直接积分法 108

习题4-2 109

4.3 换元积分法 110

4.3.1 第一类换元积分法（凑微分法） 110

4.3.2 第二类换元积分法 114

习题4-3 118

4.4 分部积分法 119

习题4-4 122

第五章 定积分及其应用 124

5.1 定积分的概念与性质 124

5.1.1 定积分问题实例分析 124

5.1.2 定积分的概念与几何意义 126

5.1.3 定积分的性质 128

习题5-1 130

5.2 微积分基本定理 131

5.2.1 积分上限的函数及其导数 131

5.2.2 牛顿—莱布尼茨（Newton—Leibniz）公式 132

习题5-2 135

5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 135

5.3.1 定积分的换元积分法 135

5.3.2 定积分的分部积分法 137

5.3.3 定积分的几个常用公式 138

习题5-3 139

5.4 广义积分 140

5.4.1 无限区间上的广义积分 140

5.4.2 无界函数的广义积分 141

习题5-4 143

5.5 定积分的若干应用举例 143

5.5.1 定积分在几何上的应用 143

5.5.2 定积分在物理上的若干应用 148

习题5-5 149

习题答案 150

附录 160

附录Ⅰ 初等数学常用公式 160

附录Ⅱ 希腊字母表 162