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第一章 一阶常微分方程 1

1.1 引言 1

1.1.1 初值问题 2

1.1.2 通解／特解 3

1.1.3 自然增长与消失 3

1.1.4 斜率场和解曲线 4

1.1.5 局部存在唯一性定理 5

1.1.6 进一步的讨论 6

1.2 可分离变量方程 8

1.2.1 可分离变量方程的定义与求解 8

1.2.2 隐式解与奇解 10

1.3 一阶线性方程 13

1.3.1 一阶线性微分方程的求解方法 14

1.3.2 进一步探讨 17

1.4 变量替换法 18

1.4.1 齐次方程 20

1.4.2 伯努力（Bernouli）方程 21

1.4.3 黎卡提（Riccati）方程 22

1.5 可降阶的二阶方程 23

1.5.1 不显含依赖变量y 23

1.5.2 不显含独立变量x 24

1.6 恰当方程 26

习题1 30

第二章 线性系统 35

2.1 向量（矩阵）函数、 复值函数及复指数函数 35

2.2 非耦合线性系统 38

2.3 可对角化 40

2.4 指数矩阵或指数算子 43

2.5 线性系统基本定理 47

2.6 R2平面线性系统 50

2.7 复特征值 55

2.8 多重根 58

2.9 Jordan标准形 63

2.10 稳定性理论 69

2.11 非齐次线性系统 76

2.12 补遗 77

2.12.1 一阶线性系统 77

2.12.2 线性无关性与通解 79

2.12.3 初值问题 82

2.12.4 特征解 82

2.12.5 非齐次解 82

习题2 83

第三章 基本定理与基本原理 89

3.1 解的存在性 90

3.2 线性系统基本定理 97

3.3 局部存在性定理 98

3.4 唯一性定理 99

3.5 解对初值的连续依赖性 105

3.6 进一步阅读 106

3.6.1 Peano（皮亚诺）存在定理 106

3.6.2 解的延伸 111

3.6.3 比较定理及其应用 116

3.6.4 解对初值和参数的连续依赖性、可微性 122

习题3 130

第四章 自治系统中的非线性现象 134

4.1 数量自治方程 134

4.1.1 引言 134

4.1.2 流的几何性质 136

4.1.3 平衡点的稳定性 142

4.1.4 分岔及对参数的依赖性 146

4.2 二维自治方程 152

4.2.1 一般性质和几何特征 152

4.2.2 稳定性 156

4.2.3 线性和近线性系统 161

4.3 分岔 171

4.4 进一步阅读：李雅普诺夫指数 178

习题4 188

参考文献 192