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第一章 预备知识 1

1.1 若干记号 1

1.2 几个初等不等式 3

1.3 空间Lp（Ω） 5

1.3.1 几个常用不等式 6

1.3.2 完备性，Lp（Ω）与L∞（Ω）之间的关系 9

1.3.3 体连续性 11

1.3.4 可分性、一致凸性与自反性 13

1.4 H？lder空间 21

1.5 磨光 27

1.6 空间Lp（Ω）的紧性 32

1.7 截断与分解 37

1.8 弱导数 40

习题 45

第二章 各向同性的整指数Sobolev空间 47

2.1 定义和初等性质 47

2.2 逼近 52

2.2.1 用光滑函数局部逼近 52

2.2.2 用光滑函数整体逼近 53

2.2.3 用整体光滑函数逼近 54

2.3 延拓 58

2.4 边界迹和迹定理 64

2.5 空间W1 p（Ω）的基本性质 70

2.5.1 复合函数的性质 70

2.5.2 水平函数的性质 73

2.5.3 差商和空间W1 p（Ω） 76

2.5.4 Lipschitz函数和空间W1 ∞（Ω） 79

2.6 Sobolev不等式和Morrey不等式 80

2.6.1 Sobolev不等式 80

2.6.2 Morrey不等式 83

2.6.3 Morrey空间，Riesz位势与H？lder连续函数 87

2.7 空间Wk p（Ω）中的嵌入定理 91

2.8 空间Wk p（Ω）中的紧嵌入定理 95

2.9 Poincaré不等式 99

2.10迹定理（续） 106

2.11 内插不等式，Wk p（Ω）中的等价范数 110

2.12空间H-1（Ω）的刻画 120

2.13嵌入定理的补充和反例 122

2.13.1 集合的光滑性 122

2.13.2 一般开集情形的嵌入定理 123

2.13.3 反例 124

2.14作为Banach代数的空间Wk p（Ω） 126

2.15关于嵌入常数的补充 128

习题 131

第三章 各向同性的实指数Sobolev空间 134

3.1 Fourier变换 134

3.1.1 L1（Rn）函数的Fourier变换 134

3.1.2 L2（Rn）函数和广义函数的Fourier变换 136

3.2 实指数Sobolev空间Hs（Rn）的定义和基本性质 139

3.3 Hs（Rn）中的嵌入定理、内插不等式和内在范数 145

3.3.1 嵌入定理 145

3.3.2 内插不等式和内在范数 148

3.4 空间Hs（Rn+）上的迹定理 153

3.5 空间Hs（Ω）和Ws p（Ω） 158

3.5.1 稠密性和延拓 159

3.5.2 嵌入定理和内插不等式 163

3.5.3 边界迹和迹定理 165

习题 167

第四章 Morrey空间，Campanato空间和BMO空间 168

4.1 各向同性的Morrey空间和Campanato空间 168

4.2 空间BMO与￡p,1（Ω） 177

4.3 关于抛物距离的Morrey空间，Campanato空间和BMO空间 183

习题 188

第五章 关于x与t异性的Sobolev空间 189

5.1 关于x与t异性的H？lder空间 190

5.2 关于x与t异性的Sobolev空间的定义 191

5.3 Wk,k/2 p（QT）的基本性质——延拓、逼近和内插不等式 193

5.4 Poincaré不等式 201

5.5 嵌入定理 205

5.6 空间V2（QT）和V2 1,0（QT） 219

习题 225

附录 实变函数与泛函分析中的一些基本结论 227

参考文献 230

索引 232