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第1章 函数、极限与连续性 1

1.1 初等函数回顾 1

1.1.1 函数的概念 1

1.1.2 函数的几种特性 1

1.1.3 初等函数 2

1.1.4 反函数和复合函数 6

习题1.1 7

1.2 极限的概念 8

1.2.1 数列的极限 8

1.2.2 函数的极限 9

习题1.2 13

1.3 极限的运算法则 14

1.3.1 极限的四则运算法则 14

1.3.2 复合函数的极限法则 16

1.3.3 函数极限的性质 16

1.3.4 两个重要准则 16

习题1.3 17

1.4 两个重要极限 18

1.4.1 第一个重要极限 18

1.4.2 第二个重要极限 19

习题1.4 21

1.5 无穷小与无穷大 21

1.5.1 无穷小 21

1.5.2 无穷大 23

1.5.3 无穷大与无穷小的关系 24

1.5.4 无穷小的比较 24

习题1.5 26

1.6 函数的连续性 27

1.6.1 函数的连续性 27

1.6.2 函数的间断点及其分类 29

习题1.6 30

1.7 连续函数的四则运算与初等函数的连续性 31

1.7.1 连续函数的四则运算 31

1.7.2 复合函数的连续性 32

1.7.3 初等函数的连续性 32

1.7.4 闭区间上连续函数的性质 34

习题1.7 35

复习题一 36

第2章 导数与微分 38

2.1 导数的概念 38

2.1.1 导数的定义 39

2.1.2 导数的几何意义 41

2.1.3 可导与连续的关系 41

习题2.1 42

2.2 导数的计算 43

2.2.1 导数的基本公式 43

2.2.2 导数的四则运算 45

2.2.3 复合函数的导数 46

2.2.4 几个求导方法 48

2.2.5 高阶导数及其计算 51

习题2.2 52

2.3 函数的微分 54

2.3.1 微分的概念 54

2.3.2 微分的几何意义 55

2.3.3 微分运算法则 56

2.3.4 近似计算 57

习题2.3 58

复习题二 59

第3章 导数的应用 62

3.1 中值定理 62

3.1.1 罗尔定理 63

3.1.2 拉格朗日中值定理 64

习题3.1 67

3.2 洛必达法则 67

3.2.1 洛必达法则Ⅰ：（0/0型） 68

3.2.2 洛必达法则Ⅱ：（∞/∞型） 69

习题3.2 71

3.3 函数的单调性、极值与最值 71

3.3.1 函数单调性的判别方法 72

3.3.2 函数的极值 74

3.3.3 函数的最大值与最小值 76

习题3.3 77

3.4 函数的凹凸性与作图 78

3.4.1 函数的凹凸性与拐点 79

3.4.2 渐近线 80

3.4.3 作初等函数的图形 81

习题3.4 83

3.5 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍 84

3.5.1 函数变化率——边际函数 84

3.5.2 成本 84

3.5.3 收益 85

3.5.4 函数的相对变化率——函数的弹性 87

3.5.5 需求函数与供给函数 88

3.5.6 需求弹性与供给弹性 90

3.5.7 用需求弹性分析总收益（或市场销售总额）的变化 92

复习题三 93

第4章 不定积分 96

4.1 不定积分的概念 96

4.1.1 原函数与不定积分的概念 96

4.1.2 不定积分的性质 97

4.1.3 不定积分的几何意义 98

4.1.4 基本积分表 98

习题4.1 100

4.2 凑微分法 100

4.2.1 凑微分法的概念 101

4.2.2 凑微分法举例 101

习题4.2 104

4.3 变量代换法 105

4.3.1 变量代换法的概念 105

4.3.2 三角代换 106

4.3.3 双曲代换 109

4.3.4 倒代换 110

4.3.5 有理代换 111

习题4.3 112

4.4 分部积分法 112

4.4.1 分部积分公式 112

4.4.2 被积函数为多项式与指数函数、三角函数乘积的情形 113

4.4.3 被积函数为多项式与对数函数、反三角函数之积的情形 113

4.4.4 形如∫eaxsinβxdx，∫eaxcosβxdx的积分 114

4.4.5 被积函数由某些复合函数构成的情形 115

习题4.4 116

4.5 其他积分方法 117

4.5.1 简单有理分式函数的积分 117

4.5.2 三角函数有理式的积分 118

4.5.3 无理函数的积分 119

习题4.5 120

复习题四 120

第5章 定积分及其应用 123

5.1 定积分的概念与性质 123

5.1.1 定积分的概念 124

5.1.2 定积分的几何意义 125

5.1.3 定积分的性质 126

习题5.1 128

5.2 微积分基本定理 129

5.2.1 原函数存在定理 129

5.2.2 微积分基本定理（牛顿—莱布尼茨公式） 131

习题5.2 133

5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 134

5.3.1 凑微分法 134

5.3.2 变量代换法 135

5.3.3 分部积分法 136

5.3.4 三角函数积分 137

习题5.3 138

5.4 广义积分 138

5.4.1 无穷区间上的广义积分 138

5.4.2 无界函数的广义积分 139

习题5.4 141

5.5 定积分在几何上的应用 141

5.5.1 平面图形的面积 141

5.5.2 旋转体的体积 143

5.5.3 曲线的弧长 144

习题5.5 145

5.6 积分方程模型 145

复习题五 146

第6章 常微分方程 150

6.1 常微分方程的基本概念 150

6.1.1 定义 151

6.1.2 可分离变量的微分方程 152

6.1.3 一阶齐次微分方程 153

6.1.4 高阶微分方程 154

习题6.1 155

6.2 一阶线性微分方程 155

6.2.1 一阶线性微分方程与常数变易法 155

6.2.2 一阶线性微分方程求解举例 156

6.2.3 全微分方程 158

6.2.4 利用伯努利方程求解 159

习题6.2 159

6.3 可降阶的二阶微分方程 160

6.3.1 y"=f(x,y')型 160

6.3.2 y"=f(y,y')型 161

习题6.3 162

6.4 二阶常系数线性微分方程 163

6.4.1 二阶常系数线性微分方程解的性质及通解结构 163

6.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 164

6.4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 167

习题6.4 169

6.5 常微分方程与数学建模 169

6.5.1 数学建模简介 169

6.5.2 经济模型举例 170

习题6.5 171

复习题六 171

第7章 多元函数微积分 173

7.1 多元函数的基本概念 173

7.1.1 多元函数的概念 173

7.1.2 二元函数的极限 175

7.1.3 二元函数的连续性 176

7.1.4 二元连续函数在有界闭区域上的性质 176

习题7.1 177

7.2 偏导数 177

7.2.1 偏导数概念与计算 178

7.2.2 高阶偏导数 180

习题7.2 181

7.3 全微分 182

7.3.1 全微分的定义 182

7.3.2 全微分在近似计算方面的应用 184

习题7.3 185

7.4 多元复合函数与隐函数的求导 185

7.4.1 复合函数的求导法则 185

7.4.2 隐函数的求导公式 189

习题7.4 190

7.5 多元函数的极值和最值 191

7.5.1 二元函数的极值 191

7.5.2 多元函数的最值 193

7.5.3 二元函数的条件极值 194

习题7.5 196

7.6 二重积分的概念与性质 196

7.6.1 二重积分的概念 197

7.6.2 二重积分的性质 198

习题7.6 200

7.7 二重积分的计算与应用 200

7.7.1 直角坐标系下二重积分的计算 200

7.7.2 极坐标系下二重积分的计算 205

7.7.3 二重积分的应用 208

习题7.7 210

复习题七 211

第8章 无穷级数 213

8.1 无穷级数的概念和性质 213

8.1.1 无穷级数的基本概念 213

8.1.2 无穷级数的基本性质 215

习题8.1 216

8.2 数项级数的审敛法 217

8.2.1 正项级数及其审敛法 217

8.2.2 交错级数审敛法 221

8.2.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 221

习题8.2 222

8.3 函数项级数与幂级数 223

8.3.1 函数项级数的概念 223

8.3.2 幂级数及其收敛区间的求法 224

8.3.3 幂级数的四则运算 226

8.3.4 幂级数的分析运算 227

习题8.3 230

8.4 函数展开成幂级数 230

8.4.1 泰勒级数 231

8.4.2 函数展开成幂级数的直接展开法 231

8.4.3 函数展开成幂级数的间接展开法 232

习题8.4 234

复习题八 234

附录——积分表 237

参考答案 245