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上篇 攻克费马大定理的历程 3

第一章 毕达哥拉斯——费马大定理的原始雏形提出者 3

1.指环王之子——毕达哥拉斯 3

2.神秘组织——毕达哥拉斯盟会 6

3.谁能告诉我 9

4.高徒之名师 10

5.毕达哥拉斯之梦 12

6.充满激情的沉思 13

7.抽象不敌具体 14

8.天国中独立的永恒存在 15

9.亲和数的历史 17

10.数学史上的第一个定理 18

11.“万物皆数” 25

附录 作为数学家的毕达哥拉斯 26

第二章 费马——孤独的法官 40

1.出身贵族的费马 40

2.官运亨通的费马 41

3.淡泊致远的费马 42

4.复兴古典的费马 43

5.议而不作的数学家 45

第三章 欧拉——多产的数学家 48

1.n=3时，费马定理的初等证明 48

2.被印在钞票上的数学家 49

第四章 库默尔——“理想”的创造者 51

1.老古董——库默尔 51

2.哲学的终生爱好者——库默尔 53

3“理想数”的引入者——库默尔 54

4.承上启下的库默尔 57

5.悠闲与幽默的库默尔 59

第五章 高斯——数学王子 60

1.最后一个使人肃然起敬的峰巅 61

2.高斯的《算术研究》及高斯数问题 62

3.离散与连续的“不解之缘” 63

4.高斯的“关于一般曲面的研究” 63

5.高斯与正17边形 64

6.奇妙的高斯数列 65

7.多才多艺的数学家 66

8.追求完美的人 67

9.不受引诱的原因 68

第六章 闯入理性王国的女性 70

1.首先闯入理性王国的女性——吉尔曼的故事 70

2.糊在墙上的微积分——俄国女数学家柯娃列夫斯卡娅的故事 76

3.美神没有光顾她的摇篮——近世代数之母诺特 83

第七章 法尔廷斯——年轻的菲尔兹奖得主 97

1.曲线上的有理点——莫德尔猜想 97

2.最年轻的菲尔兹奖得主——法尔廷斯 103

3.厚积薄发——法尔廷斯的证明 107

4.激发数学——莫德尔猜想与阿贝尔簇理论 113

5.众星捧月——灿若群星的代数几何大师 121

第八章 布朗——用真心换无穷 126

第九章 谷山和志村——天桥飞架 141

1.双星巧遇——谷山与志村戏剧性的相识 141

2.战时的日本科学 142

3.过时的研究内容——模形式 143

4.以自己的方式行事 145

5.怀尔斯证明的方向——谷山-志村猜想 146

第十章 宫冈洋——百科全书式的学者 149

1.费马狂骚曲——因特网传遍世界，UPI电讯冲击日本 149

2.从衰微走向辉煌——日本数学的历史与现状 152

3.废止和算、专用洋算——中日数学比较 155

4.“克罗内克青春之梦”的终结者——数论大师高木贞治 158

5.日本代数几何三巨头——小平邦彦、广中平佑、森重文 161

6.好事成双 172

7.对日本数学教育的反思——几位大师对数学教育的评论 174

第十一章 怀尔斯——毕其功于一役 182

1.世纪末的大结局——怀尔斯的剑桥演讲 182

2.风云乍起——怀尔斯剑桥语出惊人 183

3.天堑通途——弗雷曲线架桥梁 186

4.集之大成——十八般武艺样样精通 191

5.好事多磨——证明有漏洞沸沸扬扬 206

6.避重就轻——巧妙绕过欧拉系 209

中篇 费马对数学的贡献及其影响 227

第十二章 不幸之至的猜测 227

1.不幸之至的猜测 227

2.一块红手帕——费马数的挑战 233

3.超过全世界图书馆藏书总和的费马数F73的十进制表示 234

4.费马跨时代的知音——欧拉 237

5.难啃的硬果——朱加猜测与费马数 240

6.欧拉成功的秘诀——进军西点军校的敲门砖 248

第十三章 计算数论的产生 252

1.年青与古老的结合——计算数论 252

2.支持与反证——计算机对数论猜想的贡献 253

3.寻找基本粒子——费马的办法 256

4.爱模仿的日本人——推广的费马数 259

5.计算实力的竞赛——梅森素数的发现 269

第十四章 等分圆的理论 274

1.牛棚中的探索——欧阳维诚的作图法 274

2.fn （x）的定义及其与等分圆的关系 275

3.fn（x）的几个简单性质 277

4.高斯定理的证明 283

5.P等分圆的作图——17与257等分圆 286

6.旧中国对正17边形作图的研究 297

7.高斯割圆方程解法 302

第十五章 微积分的先驱者 311

1.微积分的先驱者——费马 311

2.微分学前史上的重要经典文献——《求极大值与极小值的方法》 313

3.枯树新枝——费马极值定理的新发展 314

4.费马定理的推广与神经网络的稳定性与优化计算问题 323

5.费马与积分思想的发展 327

下篇 费马大定理获证带来的联想 335

第十六章 法兰西骄子 335

1.法兰西骄子——近年来获菲尔兹奖和沃尔夫奖的法国数论及代数几何大师 335

2.法兰西的特性——法兰西社会的分析 344

3.法兰西的科学传统 348

第十七章 骑自行车上月球的旅人 357

1.业余数学爱好者的证明 357

2.证明 367

第十八章 大哉数学为之用 384

1.在数论中我们变得最聪明——数论的应用三则 388

2.“抽象密码编制学等同于抽象数学”——97式欧文印字机密码的破译 394

3.中国人的骄傲——两位华裔工程师发明的密码 398

4.道高一尺，魔高一丈——数学家大战RSA体制 404

5.椭圆曲线公钥密码——拉马努然巧记出租车号码的秘密 410

6.什么是好的通信网络 415

7.数学对人类的关怀——拉东变换与CT圆周自映射 419

8.拓扑学与生物钟 420

9.范·梅格伦伪造名画案 423

10.战争不让数学走开 429

11.政治与数学——L·F·理查森军备竞赛理论 434

12.弱肉强食，适者生存——群体生物学中的竞争排斥原理 439

13.掠俘问题：为什么第一次世界大战期间在地中海捕获的鲨鱼的百分比会戏剧性地增加 441

第十九章 重振数学大国的雄风 447

1.中国近代数学为什么落后了 447

2.不先利其器——落后的符号对中国数学发展的影响 458

3.光辉的一页——清末的重要数论专著《数根丛草》 461

附录 469

附录一 椭圆曲线理论初步 469

1.引言 469

2.牛顿对曲线的分类 470

3.椭圆曲线与椭圆积分 472

4.阿贝尔、雅可比、艾森斯坦和黎曼 473

5.椭圆曲线的加法 474

6椭圆曲线密码体制 476

附录二 椭圆函数理论初步 478

1.椭圆函数的一般性质 478

2.魏尔斯特拉斯函数 486

3.任意椭圆函数的简单分析表示法 493

4.函数σk 496

5.雅可比椭圆函数 498

6.西塔函数 500

7.用西塔函数表示雅可比椭圆函数 511

8.雅可比椭圆函数的加法公式 513

附录三 关于椭圆曲线的Mordell-Weil群 515

1.定义 515

2.Mordell-Weil群 516

3.关于Birch-Swinnerton-Dyer猜想 517

4.高度 518

5.Mordell-Weil群的生成元 519

附录四 椭圆曲线的黎曼假设 521

1.引言 521

2.陈述 522

3.整体（域的）Zeta函数 523

4.哈塞定理的初等证明 528

附录五 一个椭圆曲线的猜想 533

Ⅰ.椭圆曲线 533

Ⅱ.模形论 536

Ⅲ.表示论 539

Ⅳ.Langlands猜想 545

附注 548

附录六 有理指数的费马大定理 553

1.介绍 553

2.实根的情况 554

3.需要的Galois理论片断 556

4.主要结果 557

附录七 50年来数理学在法国之概况 561

1.序言 561

2.解析函数论 562

3.微分方程式论 564

4.数论、代数及几何 566

5.实变数函数论及集合论 569

6.数理学与物理学之关系 570

7.结论 571

附录八 椭圆曲线、阿贝尔曲面与正二十面体 572

0.引言 572

1.正二十面体 572

2.椭圆曲线 574

3.Abel簇 577

4.Abel簇的射影嵌入 579

5.Horrocks-Mumford丛 583

附录九 几个数论及组合论经典问题简介 588

1.华林问题 588

2.相继素数差猜想 591

3.狄利克雷除数问题 592

4.π（x）的问题 593

5.圆内格点问题 597

6.范·德·瓦尔登猜想 599

附录十 守望灵魂——毕达哥拉斯的新生活之路 601

1.毕达哥拉斯其人及其学派 602

2.对毕达哥拉斯的一般评价 605

3.探索新生活之路的起点是关爱灵魂 610

4.新生活之路的重要内容是寻找净化灵魂的方式 619

附录十一 629

1.毕达哥拉斯与音节 629

2.言必称希腊之误 641

附录十二 648

参考文献 676

后记 683