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第五章 多元函数 339

1. 基本概念 339

159.变量之间的函数关系·例题 339

160.二元函数及其定义域 340

161.n维算术空间 344

162.n维空间内的区域举例 347

163.开域及闭域的一般定义 349

164.n元函数 352

165.多元函数的极限 354

166.变成整序变量的情形 356

167.例题 358

168.累次极限 360

2. 连续函数 363

169.多元函数的连续性及间断 363

170.连续函数的运算 365

171.在域内连续的函数·波查诺-柯西定理 366

172.波查诺-魏施德拉司预备定理 367

173.魏施德拉司定理 370

174.均匀连续性 371

175.薄莱尔预备定理 373

176.基本定理的新证明 374

3. 多元函数的导数及微分 376

177.偏导数及偏微分 376

178.函数的全增量 379

179.全微分 382

180.二元函数的几何说明 384

181.复合函数的导数 388

182.例题 389

183.有限增量公式 392

184.沿给定方向的导数 393

185.(一阶)微分的形式不变性 396

186.应用全微分于近似算法 398

187.齐次函数 400

188.欧拉公式 402

4. 高阶导数及高阶微分 403

189.高阶导数 403

190.关于混合导数的定理 406

191.推广到一般情形 409

192.复合函数的高阶导数 411

193.高阶微分 412

194.复合函数的微分 416

195.戴劳公式 417

5. 极值·最大值及最小值 420

196.多元函数的极值·必要条件 420

197.充分条件(二元函数的情形) 422

198.充分条件(一般情形) 426

199.极值不存在的条件 429

200.函数的最大值及最小值·例题 431

201.应用问题 435

第六章 函数的行列式及其应用 444

1. 函数行列式的性质 444

202.函数行列式(雅谷比式)的定义 444

203.雅谷比式的乘法 445

204.函数矩阵(雅谷比矩阵)的乘法 447

2. 隐函数 450

205.一元隐函数的概念 450

206.隐函数的存在 452

207.隐函数的可微性 455

208.多元的隐函数 457

209.隐函数导数的求法 464

210.例题 467

211.相对极值 472

3. 陷函数理论的一些应用 472

212.拉格朗奇不定乘数法 475

213.相对极值的充分条件 476

214.例题及应用题 477

215.函数的独立性的概念 482

216.雅谷比矩阵的秩 484

4. 换元法 488

217.一元函数 488

218.例题 490

219.多元函数·自变量的变换 493

220.微分的求法 494

221.换元的一般情形 495

222.例题 497

223.平面曲线(直角坐标制) 506

第七章 微分学在几何上的应用 506

1. 曲线及曲面的解析表示法 506

224.例题 508

225.机械性产生的曲线 511

226.平面曲线(极坐标制).例题 515

227.空间的曲面和曲线 519

228.参变表示式 521

229.例题 523

2. 切线及切面 526

230.用直角坐标制时平面曲线的切线 526

231.例题 528

232.用极坐标制时的切线 531

233.例题 532

234.空间曲线的切线.曲面的切面 533

235.例题 538

236.平面曲线的奇异点 539

237.曲线用参变表示式的情形 544

3. 曲线的相切 546

238.曲线族的包线 546

239.例题 550

240.特征点 553

241.二曲线相切的级 555

242.曲线之一用稳示式表示的情形 557

243.密切曲线 559

244.密切曲线的另一求法 561

4. 平面曲线的长 562

245.预备定理 562

246.曲线的方向 563

247.曲线的长.弧长的可加性 565

248.可求长的充分条件.弧的微分 567

249.用弧作为参变量.切线的正向 570

5. 平面曲线的曲率 574

250.曲率的概念 574

251.曲率圆及曲率半径 577

252.例题 579

253.曲率中心的坐标 583

254.渐屈线及渐仲线的定义；渐屈线的求法 584

255.渐屈线及渐伸线的性质 587

256.渐伸线的求法 591

附录 函数推广的问题 593

257.一元函数的情形 593

258.关于二维空间的问题 594

259.辅助命题 597

260.关于推广的基本定理 600

261.推广到一般情况 601

262.总结 604