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第一编 多元函数微分学 1

第二十一章 基础知识 1

第一节 多元函数概念 1

21.1 二元函数概念 1

21.2 二元函数的几何表示法 5

21.3 n元函数与点函数 8

第二节 多元函数的极限与连续 9

21.4 极限概念 9

21.5 函数的连续与间断 12

21.6 连续函数的特性 13

第二十二章 多元函数的导数与微分 15

第一节 导数与微分的概念 15

22.1 偏导数 15

22.2 偏微分与全微分 可微性的充分条件 18

22.3 全微分的几何解释 24

22.4 全微分在近似计算上的应用 26

22.5 方向导数 27

22.6 梯度 32

第二节 复合函数及隐函数的微分方法 39

22.7 全导数公式 39

22.8 复合函数微分法与全微分形式不变性 41

22.9 由一个方程确定的隐函数 42

22.10 由方程组确定的隐函数 45

22.11 由定积分确定的函数 49

22.12 高阶偏导数与微分次序问题 55

第三节 高阶导数与微分 55

22.13 高阶微分 58

22.14 二元函数的台劳公式 60

第二十三章 微分法应用 62

第一节 矢量微分法及其在几何上的应用 62

23.1 引言 62

23.2 矢性函数 光滑曲线 63

23.3 矢量的导数及微分 切向矢量 64

23.4 单位矢量的导数 66

23.5 空间曲线的切线及法平面方程 弧长 68

23.6 曲面的切面及法线方程 70

第二节 平面曲线 73

23.7 隐示方程的曲线 寻常点与奇异点 73

23.8 曲线族的包络 77

23.9 一阶微分方程的图解法 方向场 81

第三节 多元函数的极值 84

23.10 极值的必要条件 84

23.11 极值的充分条件 87

23.12 条件极值的必要条件 88

第二编 多元函数积分学 96

第二十四章 重积分 96

第一节 重积分的概念及性质 96

24.1 引起二重积分概念的几何及物理问题 96

24.2 二重积分的定义 99

24.3 三重积分的定义 101

24.4 重积分的简单性质 102

24.5 在直角坐标系中计算法 105

第二节 二重积分的计算法及应用 105

24.6 在极坐标系中计算法 113

24.7 光滑曲面的面积 120

24.8 在力学上的应用 124

第三节 三重积分的计算法及应用 131

24.9 引言 131

24.10 在直角坐标系中计算法 133

24.11 在柱坐标系中计算法 139

24.12 在球坐标系中计算法 146

第四节 广义二重积分 151

24.13 引言 151

24.14 无界域的二重积分 布阿松积分 151

24.15 无界函数的二重积分 155

第二十五章 曲线积分及曲面积分 158

第一节 曲线积分 158

25.1 引言 158

25.2 对弧长的曲线积分的定义及计算法 159

25.3 对坐标的曲线积分的定义及计算法 167

25.4 平面上曲线积分与二重积分的关系(格林公式) 173

25.5 曲线积分与路线无关的条件 179

25.6 全微分的准则及原函数求法 183

25.7 在微分方程中的应用 积分因子 187

25.8 在物理上的应用 191

第二节 曲面积分 196

25.9 引言 196

25.10 曲面积分的物理意义及定义 196

25.11 曲面积分的基本性质及计算法 203

25.12 曲面积分与三重积分的关系(奥氏公式) 206

25.13 曲面积分与曲面无关的条件 208

25.14 曲面积分与空间曲线积分的关系(斯氏公式) 210

第三节 场论的基础知识 213

25.15 标量场与矢量场 213

25.16 矢量场的通量与散度 管状场 213

25.17 流体的连续性方程 223

25.18 矢量场的环流与旋度 224

25.19 两个重要的定理 矢量场的分类 232

25.20 在曲线坐标系中的表达式 234

第三编 由级数确定的函数 239

第二十六章 数项级数与函数项级数 239

第一节 数项级数 239

26.1 级数的收敛与发散 239

26.2 数列的极限 242

26.3 级数的基本性质 245

26.4 收敛的必要条件 调和级数 246

26.5 数项级数的分类 247

26.6 同号级数判敛法 248

26.7 交错级数判敛法 254

26.8 异号级数的绝对收敛与条件收敛 乘法 255

第二节 函数项级数 258

26.9 引言 258

26.10 收敛点与收敛域 259

26.11 均匀收敛的概念 262

26.12 均匀收敛的M判定法 266

26.13 匀敛级数的可积性与可微性 268

A26.1 引言 歌西判敛法 271

附录 由无穷积分确定的函数 271

第一节 广义积分判敛法 275

A26.2 无穷积分判敛法 275

A26.3 瑕积分与无穷积分的关系 281

A26.4 瑕积分判敛法 282

第二节 无穷积分的均匀收敛 285

A26.5 均匀收敛及其判定法 285

A26.6 均匀收敛的应用 287

第三节 Γ函数与B函数 293

A26.7 Γ函数 293

A26.8 B函数 296

A26.9 两种函数的关系 297

第二十七章 幂级数与福里哀级数 298

第一节 幂级数 298

27.1 幂级数的收敛域及其求法 收敛半径 298

27.2 幂级数的特性与运算 301

27.3 函数展为幂级数的台劳方法 304

27.4 函数展开的应用 306

27.5 函数展开的其它方法 二项式级数 313

27.6 微分方程的级数解及其存在问题 318

27.7 贝塞尔函数(圆柱函数) 324

第二节 福里哀级数 328

27.8 三角级数 328

27.9 三角函数组的正交性 330

27.10 欧拉-福里哀公式与福里哀级数 333

27.11 狄里赫莱定理 336

27.12 偶函数及奇函数的福里哀级数 339

27.13 以？为周期的函数 342

27.14 函数在半区间(0，？)上展为福里哀级数 344

27.15 福里哀级数的指数形式 348

27.16 经验函数的谐波分析法 选数板 351

附录 积分表 358

(一)有理代数函数 358

(二)根式代数函数 361

(三)超越函数 367