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第一章 复数与复变函数 1

1 复数及其代数运算 1

1. 复数的概念 1

2. 复数的代数运算 1

前言 1

引言 2

2 复数的几何表示 3

1. 复数的各种表示法 3

2. 关于模与辐角的定理 8

3. 方根 10

1. 区域的概念 11

3 区域 11

2. 单连域与多连域 13

4 复变函数 14

1. 复变函数的定义 14

2. 映射的概念 15

5 复变函数的极限和连续性 17

1. 函数的极限 17

2. 函数的连续性 19

第一章习题 20

1 解析函数的概念 23

1. 复变函数的导数 23

第二章 解析函数 23

2. 解析函数的概念 25

2 函数的解析的充要条件 27

3 解析函数与调和函数的关系 31

4 初等函数 35

1. 复数项级数的概念 35

2. 指数函数 38

3. 三角函数和双曲函数 39

4. 对数函数 42

5. 乘幂ab与幂函数 43

6. 反三角函数与反双曲函数 45

1. 用复变函数表示平面向量场 46

5 平面场的复势 46

2. 平面流速场的复势 47

3. 静电场的复势 52

第二章习题 55

第三章 复变函数的积分 58

1 复变函数积分的概念 58

1. 积分的定义 58

2. 积分存在的条件及其计算法 59

3. 性质 61

2 柯西-古萨基本定理 63

3 基本定理的推广--复合闭路定理 67

4 柯西积分公式 70

5 解析函数的高阶导数 72

第三章习题 75

第四章 级数 77

1 复变函数项级数 77

1. 幂级数 77

2. 收敛圆与收敛半径 78

3. 收敛半径的求法 79

2 泰勒级数 82

3 罗伦级数 86

第四章习题 93

1. 可去奇点 96

第五章 留数 96

1 孤立奇点 96

2. 极点 97

3. 本性奇点 97

4. 函数的零点与极点的关系 98

2 留数 100

1. 留数的定义及留数定理 100

2. 留数的计算规则 101

3 留数在定积分计算上的应用 104

1. 形如？R(cosθ,sinθ)dθ的积分 105

2. 形如？R(x)dx的积分 106

3. 形如？R(x)eaixdx(a>0)的积分 108

1. 对数留数 110

4 对数留数与辐角原理 110

2. 辐角原理 112

3. 路西定理 113

第五章习题 115

第六章 保角映射 117

1. 切线倾角的复数表示 117

2. 解析函数的导数的几何意义 118

2 分式线性映射 120

3. 保角映射的概念 120

3 唯一决定分式线性映射的条件 124

4 几个初等函数所构成的映射 130

1. 幂函数w=zn(n是不小于2的自然数) 130

2. 指数函数w=ez 134

3. 儒可夫斯基函数 137

4. 圆柱绕流问题 139

5 关于保角映射的几个一般性定理 141

6 许瓦尔兹-克力斯托夫映射 143

7 拉普拉斯方程的边值问题 153

第六章习题 158

附录 区域的变换表 164

习题答案 169

1 保角映射的概念 177