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基础知识篇 3

第一章 集合与简易逻辑 3

知识概览 3

1.1 集合 4

知识点拨 4

知识详解 4

1．集合与元素 4

2．集合的分类 4

3．集合中元素的性质 4

4．元素与集合的关系 4

5．集合的表示法 5

解题指导 5

拓展探究 9

1.2 集合之间的关系与运算 9

知识点拨 9

知识详解 10

1．两个集合之间的包含关系——子集、真子集与全集 10

2．两个集合的相等关系——集合的相等 11

3．两个集合的运算关系——交集、并集、补集 11

解题指导 13

拓展探究 17

1.3 逻辑联结词 18

知识点拨 18

知识详解 18

1．命题 18

2．简单命题与复合命题 18

3．逻辑联结词 18

4．真值表 19

解题指导 19

拓展探究 22

1.4 四种命题 22

知识点拨 22

知识详解 23

1．四种命题 23

2．四种命题之间的关系 23

3．命题的真假与等价 23

4．反证法 24

解题指导 24

拓展探究 27

1.5 充分条件和必要条件 28

知识点拨 28

知识详解 28

1．充分条件 28

2．必要条件 28

3．充要条件 28

4．用集合的包含关系来分析充分条件、必要条件与充要条件 28

5．判断方法 28

解题指导 29

拓展探究 33

第二章 函数 34

知识概览 34

2.1 函数及其表示法 34

知识点拨 34

知识详解 35

1．函数的概念 35

2．区间的概念 36

3．映射的概念 36

4．函数的三种表示法及其各自的优点与不足 37

5．函数定义域的求法与应用 38

6．函数值域的求法 39

7．求函数的表达式 40

解题指导 41

拓展探究 48

2.2 函数的单调性与奇偶性 48

知识点拨 48

知识详解 49

1．函数单调性的定义与单调区间 49

2．判断或证明函数单调性的方法 50

3．函数单调性的应用 50

4．函数的奇偶性 51

5．函数奇偶性的判断与证明 51

解题指导 51

拓展探究 58

2.3 函数的最大值与最小值 58

知识点拨 58

知识详解 59

1．函数的最大值与最小值的定义 59

2．最大值与最小值的求法 59

3．条件最值 60

4．单调函数在闭区间上的最值 60

5．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最值 60

解题指导 61

拓展探究 66

2.4 反函数 67

知识点拨 67

知识详解 67

1．反函数的意义 67

2．互为反函数的图象间的关系 68

3．反函数的求法 68

解题指导 68

拓展探究 72

2.5 函数的图象变换 72

知识点拨 72

知识详解 73

1．平移变换 73

2．对称变换 73

3．伸缩变换 74

4．图象的对称性定理 74

解题指导 76

拓展探究 82

2.6 指数函数与对数函数 82

知识点拨 82

知识详解 83

1．指数概念的推广及其性质 83

2．对数的概念公式及运算性质 84

3．指数函数的定义、图象与性质 85

4．对数函数的定义、图象与性质 86

解题指导 87

拓展探究 97

2.7 函数与方程 98

知识点拨 98

知识详解 99

1．一元二次方程实数根的分布 99

2．指数方程 100

3．对数方程 101

4．函数的零点与方程的根 101

5．两个函数图象的交点与方程组的解 102

6．方程近似解的求法 103

解题指导 104

拓展探究 113

2.8 函数模型及其应用 113

知识点拨 113

知识详解 113

1．数学模型的定义与形式 113

2．数学模型方法 114

解题指导 115

拓展探究 125

第三章 数列与数学归纳法 126

知识概览 126

3.1 数列 127

知识点拨 127

知识详解 127

1．数列的定义 127

2．数列的表示法 128

3．数列的分类 129

解题指导 129

拓展探究 135

3.2 等差数列与等比数列 135

知识点拨 135

知识详解 136

1．等差数列与等比数列的定义以及判定方法 136

2．等差数列与等比数列的通项公式 137

3．等差数列与等比数列的前n项和公式及其推导 138

4．用函数的观点审视等差数列与等比数列 140

5．等差中项与等比中项 141

6．等差数列与等比数列的性质 142

7．an与Sn的关系 144

解题指导 144

拓展探究 163

3.3 特殊数列的通项与求和 164

知识点拨 164

知识详解 164

1．求和符号“∑” 164

2．正整数方幂数列的前n项和 165

3．由等差数列或等比数列构成的和数列与积数列的求和 166

4．形如an+1=pan+r（p为常数，p≠0,p≠1）的一阶递推数列的通项求法 166

5．形如an+2=pan+1+qan（p、q为常数，且p≠0,q≠0）的二阶递推数列的通项求法 170

6．形如an+1=an/ran+p（r、p为常数，且rp≠0）的简单分式递推数列的通项求法 171

7．由递推式an+1=f(n)an（n∈N+）给出的数列｛an｝的通项 172

8．与Sn有关的递推数列｛an｝的通项 172

解题指导 173

拓展探究 189

3.4 数学归纳法 189

知识点拨 189

知识详解 189

解题指导 192

拓展探究 200

第四章 三角函数 201

知识概览 201

4.1 角的概念的推广与弧度制 202

知识点拨 202

知识详解 202

1．角 202

2．角的分类 202

3．在直角坐标系内讨论角 202

4．与α角终边相同的角的集合 202

5．正确理解角 202

6．弧度制 203

7．弧度与角度的换算 203

8．弧长公式，扇形的面积公式 203

解题指导 203

拓展探究 206

4.2 三角公式及其应用 206

知识点拨 206

知识详解 207

1．任意角的三角函数 207

2．同角三角函数的基本关系式 208

3．正弦、余弦的诱导公式 209

4．两角和与差的正弦、余弦、正切 211

5．二倍角的正弦、余弦、正切 213

解题指导 214

拓展探究 225

4.3 三角函数的图象与性质 226

知识点拨 226

知识详解 226

1．正弦函数、余弦函数的图象和性质 226

2．函数y=Asin（ωx+？）的图象 228

3．正切函数的图象和性质 228

4．已知三角函数值求角 229

解题指导 230

拓展探究 241

4.4 解三角形 242

知识点拨 242

知识详解 242

1．解直三角形 242

2．正弦定理 242

3．余弦定理 243

4．解斜三角形应用举例 244

解题指导 244

拓展探究 253

第五章 平面向量 254

知识概览 254

5.1 向量 254

知识点拨 254

知识详解 254

1．向量的概念 254

2．向量的表示方法 254

3．零向量、单位向量的概念 255

4．平行向量 255

5．相等向量 255

6．共线向量与平行向量 255

解题指导 255

拓展探究 257

5.2 向量的加法与减法 257

知识点拨 257

知识详解 258

1．向量的加法 258

2．向量的减法 259

解题指导 259

拓展探究 263

5.3 实数与向量的积 263

知识点拨 263

知识详解 263

1．实数与向量积的概念 263

2．实数与向量的积满足的运算律 263

3．向量共线定理 264

4．平面向量的基本定理 264

解题指导 264

拓展探究 267

5.4 平面向量的坐标运算 268

知识点拨 268

知识详解 268

1．平面向量的坐标表示 268

2．平面向量的坐标运算 268

3．向量平行的坐标表示 268

解题指导 269

拓展探究 272

5.5 线段的定比分点 272

知识点拨 272

知识详解 272

1．点P分有向线段→ P1P2所成的比的定义 272

2．定比分点坐标公式 273

3．中点及重心坐标公式 273

解题指导 273

拓展探究 277

5.6 平面向量的数量积 277

知识点拨 277

知识详解 278

2．两个向量数量积的定义 278

3．向量数量积的几何意义 278

4．平面向量数量积的运算性质 278

5．平面向量数量积的性质 278

解题指导 279

拓展探究 281

第六章 不等式 282

知识概览 282

6.1 不等式的性质 282

知识点拨 282

知识详解 283

1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系（不等式的基本性质） 283

2．对性质定理的一般理解 283

3．在对性质的理解上应该注意的问题 283

解题指导 284

拓展探究 286

6.2 算术平均数与几何平均数 287

知识点拨 287

知识详解 287

1．重要不等式 287

2．两个正数的算术平均数与几何平均数定理 287

3．利用算术平均数与几何平均数定理求函数的最大值、最小值．已知x、y都是正数 288

解题指导 288

拓展探究 292

6.3 不等式的证明 292

知识点拨 292

知识详解 293

1．比较法 293

2．综合法 293

3．分析法 293

解题指导 293

拓展探究 299

6.4 含绝对值的不等式 299

知识点拨 299

知识详解 300

1．含有绝对值的不等式的定理与推论 300

2．含有绝对值不等式的解法 300

解题指导 300

拓展探究 305

6.5 不等式的解法 305

知识点拨 305

知识详解 306

1．一元二次不等式的解法 306

2．一元高次不等式的解法 306

3．分式不等式的解法 306

4．含绝对值不等式的解法 306

5．无理不等式的解法 306

6．指对不等式的解法 306

解题指导 307

拓展探究 313

6.6 不等式的应用 313

知识点拨 313

知识详解 313

1．利用均值不等式求最值 313

3．解不等式的实际应用问题，一般分以下步骤进行 314

解题指导 314

拓展探究 319

第七章 直线和圆的方程 321

知识概览 321

7.1 直线的方程 322

知识点拨 322

知识详解 322

1．直线的方程和方程的直线 322

2．直线的倾斜角 322

3．直线的斜率 322

4．直线的斜率公式 323

5．直线的方向向量 323

6．直线方程的点斜式 323

7．直线方程的斜截式 323

8．直线方程的两点式 324

9．直线方程的截距式 324

10．直线方程的一般式 324

解题指导 325

拓展探究 330

7.2 两条直线的位置关系 331

知识点拨 330

知识详解 331

1．两条直线的平行 331

2．两条直线的垂直 331

3．两直线的夹角 331

4．两直线的交点 332

5．点到直线的距离 332

解题指导 333

拓展探究 337

7.3 简单的线性规划 338

知识点拨 338

知识详解 339

1．二元一次不等式表示平面区域 339

2．线性规划 339

3．线性规划的实际应用 340

解题指导 340

拓展探究 348

7.4 曲线与方程 349

知识点拨 349

知识详解 349

1．曲线的方程，方程的曲线的概念 349

2．概念的理解 350

3．坐标法，解析几何的概念 350

4．求曲线方程的几个步骤 350

5．曲线的交点 351

解题指导 351

7.5 圆的方程 355

知识点拨 355

知识详解 355

1．圆的标准方程 355

2．圆的一般方程 356

3．经过圆x2+y2=r2上一点M（x0,y0）的切线方程 356

4．圆的参数方程 356

5．点和圆的位置关系 357

6．直线和圆的位置关系 357

7．圆和圆的位置关系 357

解题指导 358

拓展探究 365

第八章 圆锥曲线 366

知识概览 366

8.1 椭圆的定义、标准方程与简单几何性质 367

知识点拨 367

知识详解 367

1．椭圆的第一定义 367

2．椭圆标准方程的推导 367

3．椭圆的几何性质 368

4．椭圆的第二定义 369

5．椭圆的参数方程 369

6．椭圆的基本量 369

7．特殊弦——焦点弦 370

解题指导 370

拓展探究 379

8.2 双曲线的定义、标准方程与简单几何性质 380

知识点拨 380

知识详解 380

1．双曲线的定义 380

2．双曲线的标准方程 380

3．双曲线的几何性质 381

4．双曲线的离心率 382

5．双曲线的第二定义 382

解题指导 383

拓展探究 393

8.3 抛物线的定义、标准方程与简单几何性质 394

知识点拨 394

知识详解 394

1．抛物线的定义 394

2．抛物线的标准方程 394

3．抛物线的几何性质 395

4．抛物线中常用结论 395

5．抛物线的一个图y2=2px(p＞0) 396

解题指导 396

拓展探究 404

8.4 直线与圆锥曲线的位置关系 405

知识点拨 405

知识详解 405

1．直线和圆锥曲线的位置关系 405

2．联立方程，韦达定理法 405

3．弦中点问题 406

解题指导 406

第九章 立体几何 414

知识概览 414

一、空间直线和平面 414

9.1 平面 414

知识点拨 414

知识详解 415

1．平面的概念 415

2．平面的画法 415

3．平面的表示方法 415

4．平面的基本性质 415

解题指导 416

拓展探究 418

9.2 空间直线 418

知识点拨 418

知识详解 418

1．空间两条直线的位置关系 418

2．平行直线 419

3．异面直线 419

解题指导 420

拓展探究 424

9.3 直线和平面 425

知识点拨 425

知识详解 425

1．直线和平面的位置关系 425

2．直线和平面平行的判定 425

3．直线和平面平行的性质 426

4．直线和平面垂直 426

5．斜线在平面内的射影 427

6．直线和平面所成的角 427

7．三垂线定理及其逆定理 428

解题指导 428

拓展探究 433

9.4 平面与平面 434

知识点拨 434

知识详解 434

1．两个平面的位置关系 434

2．两个平面平行的判定 434

3．两个平面平行的性质 435

4．两平行平面间的距离 435

5．二面角的定义及表示法 435

6．二面角的平面角 435

7．两个平面垂直的判定 435

8．两个平面垂直的性质 436

9．异面直线上两点间的距离公式 436

解题指导 436

拓展探究 442

二、简单几何体 443

9.5 棱柱 443

知识点拨 443

知识详解 443

1．棱柱的定义及表示法 443

2．棱柱的分类 443

3．棱柱的性质 443

4．几种特殊的四棱柱 443

5．长方体的性质 444

6．与棱柱有关的计算公式 444

7．水平放置的平面图形的直观图的画法 444

8．几何体的直观图的画法 444

解题指导 445

拓展探究 448

9.6 棱锥 448

知识点拨 448

知识详解 449

1．棱锥的定义及表示方法 449

2．棱锥的分类 449

3．棱锥的性质 449

4．棱锥的侧面积 449

5．棱锥的体积V=1/3Sh 449

6．正棱锥直观图的画法 449

7．多面体和欧拉公式 449

解题指导 450

拓展探究 454

9.7 球 454

知识点拨 454

知识详解 455

1．球的有关概念及表示方法 455

2．球的截面 455

3．球的大圆和小圆 455

4．球面距离 455

5．经纬度 455

6．球的体积、表面积 455

解题指导 455

拓展探究 458

三、空间向量 459

9.8 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示 459

知识点拨 459

知识详解 459

1．空间向量及其加减与数乘运算 459

2．共线向量与共面向量 459

3．空间向量基本定理 459

4．空间直角坐标系 460

5．向量的直角坐标运算 460

6．中点坐标公式 460

7．向量的模长，距离公式 460

解题指导 460

拓展探究 462

9.9 空间向量的数量积及空间向量在立体几何中的应用 463

知识点拨 463

知识详解 463

1．空间两个向量的夹角 463

2．向量的数量积 463

3．空间向量的数量积的性质 463

4．空间向量的数量积的运算律 463

5．夹角公式 463

6．平面的法向量 464

解题指导 464

拓展探究 468

第十章 排列、组合与二项式定理 469

知识概览 469

10.1 分类计数原理和分步计数原理 469

知识点拨 469

知识详解 469

1．分类计数原理 469

2．分步计数原理 469

3．分类计数原理和分步计数原理的区别与联系 469

解题指导 470

拓展探究 473

10.2 排列 473

知识点拨 473

知识详解 474

1．排列 474

2．排列数 474

解题指导 474

拓展探究 478

10.3 组合 478

知识点拨 478

知识详解 478

1．组合 478

2．组合数 478

3．组合数的两个性质 479

解题指导 479

拓展探究 482

10.4 排列与组合综合问题 482

知识点拨 482

知识详解 482

1．分类与分步 482

2．有序与无序 482

3．元素与位置 482

4．排列问题 482

5．组合问题 482

6．几种典型题的解法 482

解题指导 483

拓展探究 487

10.5 二项式定理及其应用 488

知识点拨 488

知识详解 488

1．二项式定理 488

2．二项展开式的特征 488

3．二项式系数的性质 488

解题指导 488

拓展探究 493

第十一章 概率与统计 494

知识概览 494

11.1 随机事件的概率 494

知识点拨 494

知识详解 494

1．随机事件 494

2．随机事件的概率 494

3．等可能性事件的概率 494

解题指导 495

拓展探究 499

11.2 互斥事件有一件发生的概率及相互独立事件同时发生的概率 499

知识点拨 499

知识详解 500

1．互斥事件有一个发生的概率 500

2．相互独立事件及其同时发生的概率 500

3．独立重复试验 500

解题指导 500

拓展探究 507

11.3 离散型随机变量的分布列，期望和方差 507

知识点拨 507

知识详解 508

1．随机变量 508

2．离散型随机变量的分布列 508

3．常见的离散型随机变量的分布列 508

4．期望 508

5．方差 508

6．性质 508

解题指导 509

拓展探究 516

11.4 抽样方法与总体分布的估计 517

知识点拨 517

知识详解 517

1．总体与样本 517

2．抽样方法 517

3．三种抽样方法的比较 518

4．系统抽样的步骤 518

5．总体分布的估计 518

解题指导 518

拓展探究 522

11.5 正态分布和线性回归 522

知识点拨 522

知识详解 523

1．正态分布 523

2．线性回归 523

解题指导 524

拓展探究 528

第十二章 极限与连续 529

知识概览 529

12.1 极限 529

知识点拨 529

知识详解 530

1．数列极限 530

2．函数的极限 530

3．极限的四则运算 531

解题指导 532

拓展探究 543

12.2 函数的连续性 543

知识点拨 543

知识详解 543

1．函数的连续性 543

2．间断的概念 543

3．闭区间［a,b］上连续函数的性质 544

4．初等函数的连续性 544

5．函数连续性的判定方法 544

6．函数f（x）在点x0处连续与f（x）在点x0处有极限的联系和区别 544

解题指导 545

拓展探究 550

第十三章 导数 551

知识概览 551

13.1 导数的概念 551

知识点拨 551

知识详解 552

1．曲线的切线 552

2．瞬时速度 552

3．函数y=f（x）在点x0处的导数 553

4．函数y=f（x）在区间（a,b）内的导函数（导数） 553

5．求导数的方法 553

6．利用导数求曲线的切线方程 553

7．函数f（x）在x0处连续与在点x0处可导的关系 553

8．几种常见函数的导数 554

解题指导 555

拓展探究 559

13.2 导数的运算 560

知识点拨 560

知识详解 560

1．函数的和、差、积、商的导数 560

2．复合函数的导数 561

3．对数函数与指数函数的导数 562

4．结论 562

解题指导 562

拓展探究 567

13.3 导数的应用 567

知识点拨 567

知识详解 568

1．函数的单调性 568

2．函数的极值 569

3．函数的最值 569

解题指导 570

第十四章 复数 585

知识概览 585

14.1 复数的概念及数系的扩充 585

知识点拨 585

知识详解 585

1．复数的概念 585

2．复数的代数形式 585

3．复数相等 586

4．共轭复数 586

5．复数的几何表示 586

6．复数的模 586

7．数系的扩充 586

解题指导 586

拓展探究 588

14.2 复数的运算 588

知识点拨 588

知识详解 589

1．复数的加法与减法 589

2．复数的乘法 589

3．复数的除法 589

4．复平面的距离公式 589

解题指导 589

拓展探究 591

专题综合篇 595

专题一 导数的应用 595

专题二 数列与不等式 604

专题三 空间图形的位置关系与计算 610

专题四 三角函数与平面向量综合问题 622

专题五 解析几何与平面向量综合问题 629

专题六 实际应用题 636