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引：写给学生 1

第1章 记数 3

1.1 概观 3

1.1.1 熟知的事实 4

1.1.2 进位制系统的基 5

1.1.3 进一步的思考 6

1.2 具体数学 7

1.2.1 取复数为基 8

1.2.2 高斯整数与0-1码的转换 11

1.2.3 斐波那契数系 12

1.3 数学实验 14

1.3.1 实验一 信息在负数基下的表示 14

1.3.2 实验二 高斯整数在复数基下生成的图形 17

1.3.3 实验三 复数基记数法下的文本和图像信息表示 20

第2章 坐标 26

2.1 概观 26

2.1.1 体会笛卡儿 27

2.1.2 熟知的几个坐标 29

2.1.3 坐标概念的推广 29

2.2 具体数学 30

2.2.1 齐次坐标 31

2.2.2 面积坐标 32

2.2.3 平行轴坐标系 35

2.3 数学实验 36

2.3.1 实验一 齐次坐标与几何变换 37

2.3.2 实验二 图像的透视变换 41

2.3.3 实验三 面积坐标下的区域分割 45

第3章 函数 48

3.1 概观 48

3.1.1 函数的表达方式 50

3.1.2 函数的可视表达 51

3.1.3 泛函分析 51

3.2 具体数学 52

3.2.1 函数的运算 52

3.2.2 典型的函数 54

3.2.3 函数泰勒级数展开 60

3.2.4 函数展开成傅里叶级数 69

3.2.5 函数图像变换 72

3.3 数学实验 76

3.3.1 实验一 魏尔斯特拉斯函数 76

3.3.2 实验二 函数泰勒展开之阶数影响 79

3.3.3 实验三 吉布斯现象 85

第4章 画图 89

4.1 概观 89

4.1.1 仿真图与示意图 91

4.1.2 作图与作图工具紧密相关 95

4.1.3 画图的两种思路 96

4.2 具体数学 96

4.2.1 依表达式画图 97

4.2.2 按像素画图 102

4.2.3 埃舍尔画图 105

4.2.4 不同投影下的地图 106

4.2.5 画图与识图联系紧密 108

4.3 数学实验 111

4.3.1 实验一 切比雪夫多项式 111

4.3.2 实验二 利用阿诺尔德变换画图 114

4.3.3 实验三 画不同投影下的月表地形图 118

第5章 空间 124

5.1 概观 124

5.1.1 线性空间 125

5.1.2 赋范线性空间 126

5.1.3 内积空间 127

5.2 具体数学 128

5.2.1 标准正交基 128

5.2.2 线性无关函数之正交化 130

5.2.3 正交函数 133

5.2.4 连续正交函数 134

5.2.5 非连续正交函数 140

5.3 数学实验 162

5.3.1 实验一 基于富兰克林函数的数字曲线正交表达 162

5.3.2 实验二 张量积形式的沃尔什函数与哈尔函数 167

5.3.3 实验三 基于V-系统的几何图组正交表达 171

第6章 平均 176

6.1 概观 176

6.1.1 毕达哥拉斯平均 177

6.1.2 加权平均 179

6.1.3 权函数概念 180

6.2 具体数学 182

6.2.1 函数的平均 182

6.2.2 用URN模型构造调配函数 183

6.2.3 矩方法 186

6.2.4 矩母函数 192

6.2.5 兰乔斯平滑因子 193

6.3 数学实验 195

6.3.1 实验一 数字图像的融合 195

6.3.2 实验二 高斯平均 199

6.3.3 实验三 兰乔斯平滑因子之应用 203

第7章 逼近 208

7.1 概观 208

7.1.1 魏尔斯特拉斯逼近定理 210

7.1.2 拉格朗日插值多项式 211

7.1.3 迭代逼近法 212

7.2 具体数学 212

7.2.1 拉格朗日插值基函数 213

7.2.2 伯恩斯坦多项式 217

7.2.3 样条函数 218

7.2.4 B-样条曲线 222

7.2.5 多结点样条基函数 226

7.2.6 单位算子的逼近 229

7.2.7 最小二乘法 232

7.3 数学实验 234

7.3.1 实验一 贝齐尔曲线 234

7.3.2 实验二 迭代法解方程组 240

7.3.3 实验三 曲面逼近 244

第8章 分形 250

8.1 概观 250

8.1.1 什么是分形 251

8.1.2 典型的分形 252

8.1.3 什么是分形维数 255

8.2 具体数学 256

8.2.1 茹利亚集与曼德布洛特集 257

8.2.2 迭代函数系统 260

8.2.3 分形插值 264

8.2.4 分形维数 266

8.3 数学实验 270

8.3.1 实验一 二叉树与H-分形 270

8.3.2 实验二 混沌游戏 273

8.3.3 实验三 月球地形的分形维数 276

后记 280