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第1篇 复变函数 3

第1章 复变函数及其导数与积分 3

1.1引言 3

1.2复数与复变函数 5

1.2.1复数 5

1.2.2复平面 5

1.2.3复数加法的几何表示 7

1.2.4复平面上的点集 8

1.2.5复变函数 10

1.3复变函数的极限与连续 13

1.4复球面与无穷远点 13

1.5解析函数 14

1.5.1复变函数的导数与微分 14

1.5.2解析函数的概念及其简单性质 15

1.5.3柯西-黎曼条件 16

1.6复变函数的积分 19

1.6.1复变函数积分的概念与计算 19

1.6.2复变函数积分的简单性质 21

1.6.3柯西积分定理及其推广 22

1.6.4柯西积分公式及其推论 25

习题1 29

第2章 复变函数的幂级数 33

2.1复数序列和复数项级数 33

2.1.1复数序列及其收敛性 33

2.1.2复数项级数及其收敛性 34

2.1.3复数项级数的绝对收敛性 35

2.2复变函数项级数和复变函数序列 35

2.3幂级数 38

2.4幂级数和函数的解析性 41

2.5解析函数的泰勒展开式 42

2.6解析函数零点的孤立性及唯一性定理 45

2.7解析函数的洛朗级数展开式 46

2.7.1洛朗级数 46

2.7.2解析函数的洛朗展开式 47

2.7.3洛朗级数与泰勒级数的关系 49

2.7.4解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展开式 49

2.8解析函数的孤立奇点及其分类 53

2.8.1可去奇点 53

2.8.2极点 54

2.8.3本性奇点 55

2.8.4复变函数在无穷远点的性态 56

习题2 56

第3章 留数及其应用 61

3.1留数与留数定理 61

3.2留数的计算 62

3.2.1一级极点的情形 62

3.2.2高级极点的情形 62

3.3无穷远点处的留数 64

3.4留数在定积分计算中的应用 66

3.4.1形如？2π 0 R（cosθ，sinθ）dθ的积分 67

3.4.2形如？＋∞ －∞ R（x）dx的积分 68

3.4.3形如？＋∞ －∞ R P（x）/Q（x）eimx dx的积分 69

3.5复变函数在物理中的应用简介 72

3.5.1解析函数的物理解释 72

3.5.2两种特殊区域上解析函数的实部和虚部的关系 泊松积分公式 73

习题3 76

第2篇 矢量分析与场论 83

第4章 矢量分析与场论初步 83

4.1矢量函数及其导数与积分 83

4.1.1场与矢量函数 83

4.1.2矢量函数的极限与连续性 84

4.1.3矢量函数的导数 86

4.1.4矢量函数的积分 87

4.2梯度、散度与旋度在正交曲线坐标系中的表达式 89

4.2.1直角坐标系下“三度”及哈密顿算子 89

4.2.2正交曲线坐标系下的“三度” 97

4.3正交曲线坐标系下的拉普拉斯算符、格林第一公式和格林第二公式 105

4.4算子方程 106

习题4 112

第3篇 数学物理方法 117

第5章 数学物理方程及其定解条件 117

5.1数学物理基本方程的建立 117

5.1.1波动方程 117

5.1.2热传导方程和扩散方程 123

5.1.3泊松方程和拉普拉斯方程 126

5.1.4亥姆霍兹方程 127

5.2定解条件 128

5.2.1初始条件 128

5.2.2边界条件 129

5.3定解问题的提法 131

5.4二阶线性偏微分方程的分类与化简 解的叠加原理 131

5.4.1含有两个自变量二阶线性偏微分方程的分类与化简 131

5.4.2线性偏微分方程的叠加原理 137

习题5 138

第6章 分离变量法 145

6.1（1＋1）维齐次方程的分离变量法 145

6.1.1有界弦的自由振动 145

6.1.2有限长杆上的热传导 153

6.2二维拉普拉斯方程的定解问题 157

6.3非齐次方程的解法 163

6.4非齐次边界条件的处理 170

习题6 175

第7章 二阶常微分方程的级数解法 本征值问题 185

7.1二阶常微分方程的级数解法 185

7.1.1常点邻域内的级数解法 185

7.1.2勒让德方程的级数解 187

7.1.3正则奇点和非正则奇点附近的级数解 191

7.1.4贝塞尔方程的级数解 193

7.2施图姆-刘维尔本征值问题 198

7.2.1施图姆-刘维尔方程 198

7.2.2本征值问题的一般提法 199

7.2.3本征值问题的一般性质 201

习题7 202

第8章 贝塞尔函数及其应用 211

8.1贝塞尔方程的引入 211

8.2贝塞尔函数的性质 213

8.2.1贝塞尔函数的基本形态及本征值问题 213

8.2.2贝塞尔函数的递推公式 215

8.2.3贝塞尔函数的正交性和模方 218

8.2.4按贝塞尔函数的广义傅里叶级数展开 219

8.3贝塞尔函数在定解问题中的应用 221

8.4修正贝塞尔函数 226

8.4.1第一类修正贝塞尔函数 226

8.4.2第二类修正贝塞尔函数 227

8.5可化为贝塞尔方程的方程 231

8.5.1开尔文方程 231

8.5.2其他例子 231

8.5.3含贝塞尔函数的积分 232

习题8 233

第9章 勒让德多项式及其应用 244

9.1勒让德方程与勒让德多项式的引入 244

9.2勒让德多项式的性质 247

9.2.1勒让德多项式的微分表示 247

9.2.2勒让德多项式的积分表示 249

9.2.3勒让德多项式的母函数 249

9.2.4勒让德多项式的递推公式 251

9.2.5勒让德多项式的正交归一性 252

9.2.6按Pn（x）的广义傅里叶级数展开 253

9.2.7一个重要公式 254

9.3勒让德多项式的应用 254

9.4关联勒让德多项式 259

9.4.1关联勒让德函数的微分表示 260

9.4.2关联勒让德函数的积分表示 260

9.4.3关联勒让德函数的正交性与模方 260

9.4.4按Pm（x）的广义级数展开 261

9.4.5关联勒让德函数的递推公式 261

9.5其他特殊函数方程简介 263

9.5.1埃尔米特多项式 263

9.5.2拉盖尔多项式 265

习题9 266

第10章 行波法与积分变换法 273

10.1一维波动方程的达朗贝尔公式 273

10.2三维波动方程的泊松公式 277

10.2.1三维波动方程的球对称解 278

10.2.2三维波动方程的泊松公式 278

10.2.3泊松公式的物理意义 282

10.3傅里叶积分变换法求解定解问题 285

10.3.1预备知识——傅里叶变换及性质 285

10.3.2傅里叶变换法 287

10.4拉普拉斯变换法求解定解问题 290

10.4.1拉普拉斯变换及其性质 290

10.4.2拉普拉斯变换法 291

习题10 295

第11章 格林函数法 306

11.1引言 306

11.2δ函数的定义与性质 307

11.2.1δ函数的定义 307

11.2.2广义函数的导数 308

11.2.3δ函数的傅里叶变换 309

11.2.4高维δ函数 309

11.3泊松方程的边值问题 310

11.3.1格林公式 310

11.3.2解的积分形式——格林函数法 311

11.3.3格林函数关于源点和场点是对称的 314

11.4格林函数的一般求法 315

11.4.1无界区域的格林函数 315

11.4.2用本征函数展开法求边值问题的格林函数 317

11.5用电像法求某些特殊区域的狄利克雷-格林函数 318

11.5.1泊松方程的狄利克雷-格林函数及其物理意义 318

11.5.2用电像法求格林函数 320

习题11 323

附录A 常微分方程简介 327

附录B Г函数的定义和基本性质 330

附录C 通过计算留数求拉普拉斯变换的反演 331

附录D 傅里叶变换和拉普拉斯变换简表 333

参考文献 338