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第1章 线性空间与线性变换 1

1.1 度量空间 1

1.1.1 一致连续性与一致收敛性 1

1.1.2 度量空间的概念与例子 6

1.1.3 开集与闭集 10

1.1.4 度量空间中的极限与连续性 11

1.2 线性空间 16

1.2.1 线性空间的定义 17

1.2.2 线性相关性 18

1.2.3 基、维数与坐标 19

1.2.4 基变换与坐标变换 20

1.2.5 子空间与维数公式 23

1.2.6 线性空间的同构 30

1.3 线性变换及其矩阵 33

1.3.1 线性变换及其运算 33

1.3.2 像子空间与核子空间 36

1.3.3 线性变换的矩阵表示 37

1.3.4 不变子空间 40

1.3.5 特征值与特征向量 42

1.3.6 矩阵的迹 46

1.3.7 简单矩阵 48

1.4 内积空间 50

1.4.1 Euclid空间 50

1.4.2 正交基与子空间的正交 54

1.4.3 正交变换 57

1.4.4 酉空间与酉变换 59

1.5 线性空间概念发展简史 63

第2章 矩阵的标准形 66

2.1 λ-矩阵 66

2.1.1 λ-矩阵的概念 66

2.1.2 Smith标准形 69

2.1.3 初等因子 76

2.1.4 矩阵的相似 82

2.2 Jordan标准形 84

2.3 Schur分解定理与正规矩阵 89

2.3.1 Schur分解定理 90

2.3.2 正规矩阵 92

2.3.3 幂等矩阵、幂单矩阵与幂零矩阵 95

2.4 Hermite二次型与正定性 96

第3章 范数理论及其应用 105

3.1 向量范数 105

3.1.1 赋范线性空间 105

3.1.2 赋范线性空间中的极限 107

3.1.3 有限维赋范线性空间 109

3.1.4 赋范线性空间中的级数 111

3.2 矩阵范数 112

3.3 谱半径 120

3.4 矩阵测度 122

第4章 矩阵分析 127

4.1 矩阵序列与级数 127

4.1.1 矩阵序列 127

4.1.2 矩阵级数 130

4.2 Hamilton-Cayley定理与最小多项式 132

4.2.1 Hamilton-Cayley定理 132

4.2.2 Hamilton-Cayley定理的应用 135

4.2.3 最小多项式 137

4.3 矩阵函数 139

4.3.1 矩阵函数的定义与性质 139

4.3.2 矩阵函数的计算 142

4.4 函数矩阵的微积分 150

4.4.1 函数矩阵对数值变量的导数与积分 150

4.4.2 广义函数矩阵对矩阵变量的导数 154

第5章 矩阵分析的应用 158

5.1 在线性系统中的应用 158

5.1.1 定常线性系统 158

5.1.2 高阶定常线性系统 164

5.1.3 非定常线性系统 169

5.2 在离散线性系统中的应用 179

5.2.1 定常离散线性系统 179

5.2.2 高阶定常离散线性系统 185

5.2.3 非定常离散线性系统 187

5.3 在线性控制系统中的应用 193

5.3.1 线性控制系统的可控性与可观性 193

5.3.2 线性控制系统的共轭原理 202

5.3.3 离散线性控制系统的可控性与可观性 206

5.3.4 离散线性控制系统的共轭原理 212

5.3.5 线性控制系统的传递函数与传递矩阵 214

5.3.6 离散线性控制系统的传递函数与传递矩阵 217

第6章 矩阵分解 222

6.1 三角分解 222

6.1.1 Gauss LU分解 222

6.1.2 Schmidt QR分解 225

6.2 满秩分解 233

6.3 谱分解 237

6.4 Beltrami-Jordan奇异值分解 240

第7章 特征值的估计与圆盘定理 244

7.1 特征值的估计 244

7.2 Gershgorin圆盘定理 251

7.3 Hermite矩阵特征值的估计 257

第8章 广义逆矩阵 263

8.1 左逆矩阵与右逆矩阵 263

8.2 ｛1｝-广义逆矩阵与相容方程组的解 265

8.3 ｛1，2｝-广义逆矩阵 273

8.4 ｛1，3｝-广义逆矩阵与相容方程组的极小范数解 277

8.5 ｛1，4｝-广义逆矩阵与不相容方程组的最小二乘解 283

8.6 伪逆矩阵与不相容方程组的极小范数最小二乘解 287

第9章 几类重要矩阵 294

9.1 非负矩阵 294

9.1.1 非负矩阵及其谱半径 294

9.1.2 正矩阵及其Perron特征值 298

9.2 M矩阵 302

9.2.1 非奇异M矩阵 302

9.2.2 一般M矩阵 306

9.3 稳定矩阵 307

9.4 矩阵方程 311

9.4.1 Kronecker积 311

9.4.2 矩阵方程的解 314

9.5 线性矩阵不等式 322

习题答案与提示 325

中英文术语索引 337

重要符号索引 346

参考文献 348