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目录 1

第一章 线性代数 1

§1 行列式 1

1.1 行列式的一般概念 1

1.2 拉普拉斯展开定理 6

1.3 行列式的性质 9

习题1.1 16

§2 矩阵及其代数运算 19

2.1 矩阵的概念 19

2.2 矩阵的加法，矩阵与数的乘法 19

2.3 矩阵的乘法 20

习题2.1 24

2.4 矩阵的秩、逆矩阵 25

习题 2.2 29

2.5 矩阵的初等变换 30

习题2.3 36

2.6 矩阵的相抵 36

2.7 分块矩阵 38

习题2.4 40

§3 n维向量线性相关性 41

3.1 n维向量概念 41

3.2 n维向量的线性相关性 42

3.3 向量组线性相关性的矩阵判别定理 44

3.4 向量组的最大线性无关组 46

习题3.1 47

§4 线性代数方程组 48

4.1 线性方程组解的存在定理 48

4.2 线性方程组求解问题 51

习题4.1 55

4.3 线性方程组解的结构 56

习题4.2 61

§5 特征值及特征向量 62

5.1 特征值·特征向量 62

5.2 矩阵在相似下的对角标准形 66

习题5.1 69

§6 λ-矩阵 69

6.1 λ-矩阵的概念 69

6.2 λ-矩阵的不变因子 70

习题6.1 74

6.3 λ-矩阵的初等因子 75

习题6.2 79

6.4 常量矩阵在相似下的约当标准形 80

7.1 二次型 85

§7 二次型 85

习题6.3 85

7.2 矩阵的相合、惯性定理 90

习题7.1 93

7.3 有定及不定二次型 93

习题7.2 98

§8 向量空间 98

8.1 向量空间的基本概念 98

8.2 基变换与坐标变换 102

8.3 线性变换及其变换矩阵 104

8.4 线性变换在不同的基下的变换矩阵间的关系 108

习题8.1 110

§9 欧氏空间 111

9.1 欧氏空间的概念 111

9.2 标准正交基 113

9.3 正交变换与正交矩阵 115

9.4 主轴问题 117

习题9.1 121

§10 矩阵在四端网络中的应用 122

10.1 四端网络方程 122

10.2 单元件四端网络的矩阵 123

10.3 四端网络各种联接方式的矩阵表示 125

10.4 几种常用的四端网络的矩阵 128

§11 矩阵在结构力学上的应用 133

11.1 结构的刚度矩阵与柔度矩阵 133

11.2 刚度矩阵和柔度矩阵的性质 135

11.3 力法——柔度矩阵的计算 136

11.4 刚度集合法——结构的总刚度矩阵 137

1.2 微分方程的阶 142

1.3 常微分方程的特解与通解 142

§1 基本概念 142

1.1 微分方程定义 142

第二章 常微分方程 142

习题1.1 143

§2 求微分方程解的各种方法 144

2.1 几种常见方程的解法 144

2.2 三种常用求解方法 149

习题2.1 153

2.3 应用题举例 154

习题2.2 156

§3 线性常系数微分方程 157

3.1 线性方程式的基本概念 157

习题3.1 159

3.2 关于n阶线性方程的解的两个定理 160

3.3 n阶齐次方程式的基本解组 161

习题3.2 161

3.4 二阶线性常系数齐次微分方程的通解的求法 165

习题3.3 167

3.5 二阶线性常系数非齐次微分方程的解的求法 168

习题3.4 176

3.6 线性常系数微分方程求解方法一览表 177

3.7 n阶（n＞2）线性常系数齐次微分方程的通解求法 179

3.8 n阶线性常系数非齐次微分方程 181

的特解的求法 181

习题3.5 186

§4 线性微分方程组 187

4.1 用克莱姆法解线性常系数微分方程组 187

习题4.1 190

4.2 线性齐次微分方程组的矩阵解法 191

4.3 线性非齐次微分方程组的特解的求法 201

习题4.2 210

§5 线性常系数微分方程应用举例（一个自由度的系统） 211

5.1 系统的微分方程推导 211

5.2 机械系统与电系统的相似性 214

习题5.1 215

5.3 自由振动 216

5.4 强迫振动 222

5.5 机械系统的平移振动公式汇编 224

5.6 机械振动的例题 225

习题5.2 230

5.7 L-R-C串联电路 232

习题5.3 235

§6 多自由度的振动系统 236

6.1 多自由度的自由振动 236

§5 解析函数的级数表示 238

6.2 无阻尼的多自由度受迫振动 240

6.3 有阻尼的多自由度受迫振动 241

6.4 举例 242

习题6.1 248

第三章 复变函数 249

§1 复数与复平面 249

1.1 复数的代数运算 249

1.2 复数的几何表示 250

1.3 平面图形的复数表示 253

习题1 256

§2 复变解析函数 258

2.1 复变函数 258

2.2 复变函数的连续性 260

2.3 复变函数的导数 261

2.4 解析函数 263

2.5 平面场的复势 265

习题2 268

3.1 指数函数 269

§3 初等函数 269

3.2 三角函数 270

3.3 双曲函数 271

3.4 对数函数 271

3.5 幂函数 273

3.6 反三角函数与反双曲函数 273

习题3 274

§4 复变函数的积分 275

4.1 复变函数的积分 275

4.2 柯西定理 279

4.3 原函数 281

4.4 柯西积分公式 282

4.5 解析函数的高阶导数 284

习题4 286

5.1 复变函数项级数 288

5.2 幂级数 292

5.3 泰勒展开 294

5.4 罗朗展开 296

5.5 孤立奇点 301

习题5 303

§6 残数定理及其应用 305

6.1 残数定理 305

6.2 残数的计算 306

6.3 围道积分法 308

6.4 约当引理 309

6.5 解析函数的零点分布 313

习题6 318

§7 保角映射 320

7.1 解析函数的几何性质 320

7.2 线性变换 323

7.3 倒数变换 324

7.4 双线性变换 326

7.5 变换w=zn 330

7.6 茹可夫期基变换 331

7.7 变换ω=ez 332

7.8 变换ω=sinz 333

7.9 施瓦兹—克利斯托费尔变换 333

习题7 338

第四章 拉普拉斯变换 341

§1 拉普拉斯变换 341

1.1 拉普拉斯变换的定义 341

1.2 一些重要函数的拉氏变换 342

1.3 可变换函数 345

1.4 象函数的解析性 347

习题1 347

§2 拉氏变换的性质（一） 348

2.1 线性定理 348

2.2 相似定理 349

2.3 延迟定理 349

2.4 位移定理 352

2.5 微分定理 353

2.6 积分定理 355

习题2 356

§3 反变换 359

3.1 反变换 359

3.2 有理分式象函数的反变换 361

3.3 展开定理 366

3.4 反演公式 367

3.5 利用残数理论计算复反演积分 368

3.6 拉氏变换表 371

习题3 372

§4 拉氏变换的应用一（线性微分方程的解） 373

4.1 常微分方程的初值问题 373

4.2 积分微分方程的初值问题 376

4.3 边值问题 377

4.4 常微分方程组 377

习题4 379

§5 拉氏变换的应用二（系统响应分 381

析） 381

5.1 欧姆定律和基尔霍夫定律的运算形式 382

5.2 电系统响应分析 385

5.3 机械系统响应分析 389

5.4 梁的挠度 393

习题5 394

§6 拉氏交换的性质（二） 397

6.1 微分反演定理 397

6.2 积分反演定理 399

6.3 乘积反演定理 400

6.4 杜阿美公式及其应用 402

6.5 初值定理 404

6.6 终值定理 405

习题6 406

§7 周期函数的拉氏变换 408

7.1 周期函数的拉氏变换 408

7.2 系统对周期非正弦输入的响应 411

7.3 拉氏变换表的增补 415

习题7 416

§8 脉冲函数 418

8.1 脉冲函数 418

8.2 脉冲函数的性质 419

8.3 脉冲函数的拉氏变换 420

8.4 脉冲响应及其应用 421

8.5 高阶脉冲函数 423

习题8 425

§9 拉氏变换的应用三（传递函数） 426

9.1 传递函数 427

9.2 方块图 428

9.3 线性系统的稳定性 431

习题9 432

附录 拉氏变换表 434