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第1章 绪论 1

1.1数值计算问题 1

1.2基本概念 3

1.3计算误差分析 5

1.4数值计算方法的主要思想 9

1.5计算机算法程序 10

1.5.1计算机计算的特点 10

1.5.2计算机语言与程序 11

第2章 数据（函数值）插值 16

2.1插值基本理论 16

2.1.1问题描述 16

2.1.2插值函数的几何意义 16

2.1.3多项式插值函数 17

2.1.4多项式插值函数的唯一性 17

2.1.5多项式插值误差 18

2.1.6插值收敛性 19

2.1.7插值稳定性 19

2.2拉格朗日型插值法 20

2.2.1两点与三点L型插值函数 21

2.2.2一般L型插值函数 22

2.2.3误差分析 23

2.2.4埃特肯递推算法 24

2.2.5分段线性插值 27

2.3牛顿型插值法 29

2.3.1差商表示法 30

2.3.2等距离插值 32

2.4赫密特型插值法 33

2.4.1一阶H型插值 33

2.4.2高阶H型插值 36

2.4.3分段H型插值 37

2.4.4H型插值的差商形式 38

2.5三次样条插值法 39

2.5.1B样条函数 40

2.5.2三转角方程法 41

2.5.3三弯矩方程法 43

2.5.4张力样条 47

2.5.5样条插值函数的收敛性 48

第3章 函数逼近与数据拟合 49

3.1基本概念 49

3.2逼近函数存在与收敛性 51

3.3数据最小二乘拟合 53

3.3.1多项式拟合 53

3.3.2平移变换与最小平方逼近 55

3.3.3非线性函数最小平方逼近 56

3.3.4正交多项式的最小平方逼近 58

3.3.5过定方程组的最小平方逼近解 60

3.4最佳平方逼近 60

3.4.1最佳平方逼近理论 61

3.4.2多项式平方逼近 62

3.5正交多项式逼近 63

3.5.1正交多项式性质 64

3.5.2正交多项式构造 64

3.5.3特殊正交多项式 64

3.5.4正交多项式的平方逼近 65

3.5.5逼近函数的误差与逼近区间问题 66

3.6多项式最佳一致逼近 68

3.7有理式逼近 70

3.7.1有理分式形式 70

3.7.2有理函数逼近（伯德（Pede）逼近） 70

3.8切比雪夫多项式逼近 72

3.8.1T多项式的表达式 72

3.8.2T多项式奇偶性 72

3.8.3T多项式零点 73

3.8.4T多项式极值点 73

3.8.5T多项式正交性 73

3.8.6T多项式逼近 74

3.9傅里叶逼近 75

3.9.1周期函数三角级数逼近 75

3.9.2非周期函数三角级数逼近 77

3.9.3傅里叶变换谱 80

3.10小波函数逼近 81

3.10.1小波函数 82

3.10.2小波变换 83

3.10.3小波变换谱 85

第4章 线性方程组解法 87

4.1方程组解的理论基础 87

4.1.1解向量误差 87

4.1.2向量范数 87

4.1.3矩阵范数 88

4.1.4矩阵的从属范数 89

4.1.5方程组解的误差分析 90

4.1.6病态方程 92

4.2方程组的直接解法 93

4.2.1高斯消去法 93

4.2.2三角分解法 95

4.2.3平方根方法 96

4.2.4三对角带状阵解法 97

4.2.5大型稀疏矩阵方程组解法 99

4.3方程组的迭代解法 101

4.3.1迭代格式构造与收敛性 101

4.3.2雅可比迭代法（J） 102

4.3.3高斯—赛德尔迭代法（G-S） 103

4.3.4超松弛迭代法（SOR） 103

4.3.5对称逐次超松弛迭代（SSOR） 104

4.4方程组的等效优化解法 108

4.4.1最速下降法 108

4.4.2共轭梯度法 109

第5章 矩阵特征值计算 111

5.1概述 111

5.1.1特征值 111

5.1.2特征向量 112

5.1.3瑞利商 112

5.2特征值估计理论 113

5.3幂法与逆幂法 115

5.3.1幂法 115

5.3.2降阶法 117

5.3.3加速迭代法 118

5.3.4逆幂法 119

5.4QR分解法 121

5.4.1向量变换 122

5.4.2矩阵QR分解 123

5.5雅可比方法 125

5.6对称三对角矩阵特征值 126

5.7工程问题 128

5.7.1逆幂迭代法 128

5.7.2能量法 129

5.7.3子空间迭代法 130

第6章 非线性方程（组）解法 132

6.1方程根的存在性 132

6.1.1方程根的存在 132

6.1.2方程根的分离 132

6.2简单迭代法 134

6.2.1迭代格式 134

6.2.2迭代收敛性 135

6.2.3局部收敛与收敛阶 137

6.2.4加速迭代法 138

6.3牛顿型迭代法 140

6.3.1牛顿迭代法 140

6.3.2割线法 142

6.4插值求根法 142

6.4.1一次函数插值法 142

6.4.2二次函数插值法 142

6.5多项式求根 145

6.5.1多项式展开 145

6.5.2多项式根的分离 147

6.5.3拉盖尔迭代法 147

6.5.4幂法 148

6.5.5重根算法 148

6.6非线性方程组求解 149

6.6.1基本概念 150

6.6.2牛顿—拉夫荪解法 151

6.6.3拟牛顿法 152

6.7工程问题 154

6.7.1发动机主轴滚子轴承系统分析 155

6.7.2机床主轴球轴承系统分析 158

第7章 数值积分计算方法 169

7.1基本概念 169

7.1.1收敛性 170

7.1.2稳定性与误差 170

7.1.3代数精度 170

7.2柯茨求积法 171

7.2.1柯茨（Cotes）公式 171

7.2.2柯茨公式的截断误差 173

7.2.3代数精度 173

7.2.4稳定性和收敛性 173

7.2.5开区间积分公式 174

7.3复合求积法 175

7.3.1复合梯形公式 175

7.3.2复合辛普松公式 176

7.3.3复合柯茨公式 176

7.4高精度递推方法 177

7.4.1梯形公式递推计算法 177

7.4.2里查松外推法 179

7.4.3龙贝格外推法 180

7.5三次样条函数积分法 182

7.6高斯型积分法 183

7.6.1高斯型积分理论 183

7.6.2正交多项式与高斯型积分 186

7.6.3高斯—勒让德积分公式 187

7.6.4高斯—切比雪夫积分公式 189

7.6.5高斯—拉盖尔积分公式 190

7.6.6高斯—赫密特积分公式 190

7.6.7固定部分积分点的高斯型积分 190

7.6.8广义积分计算技术 191

7.7多重积分计算法 191

7.8积分方程解法 193

第8章 常微分方程的数值解 195

8.1引言 195

8.2微分方程解的存在性 196

8.3数值微分 196

8.3.1差商法 196

8.3.2插值法 197

8.3.3外推法 197

8.4一阶方程的欧拉法 197

8.4.1欧拉显式公式 197

8.4.2欧拉隐式公式 198

8.4.3误差分析 198

8.4.4算法的稳定性分析 199

8.4.5算法的收敛性与相容性 200

8.5一阶方程的龙格—库塔法 200

8.6一阶方程的多步法 204

8.7离散系统的状态方程解法 209

8.7.1零阶输入系统方程 209

8.7.2m阶输入系统方程 210

8.7.3离散系统状态方程解 212

8.8二阶方程（组）的解法 215

8.8.1中心差分法 216

8.8.2二阶差分法 216

8.8.3威尔松—θ法 217

8.8.4牛马克法 218

8.8.5高阶方程的龙格—库塔法 219

8.8.6逐步积分法的稳定性 220

8.9工程问题 221

8.9.1连杆机构运动与动力学分析 221

8.9.2机床主轴轴承的动力学分析 225

第9章 偏微分方程数值解法 238

9.1有限差分法 238

9.1.1区域离散 238

9.1.2偏导数差分 239

9.1.3微分方程差分格式 239

9.1.4边界条件与算例 239

9.1.5差分格式的收敛性与稳定性 240

9.2有限元分析方法 241

9.2.1余量加权惩罚原理 241

9.2.2有限元插值原理 243

9.3协调单元的插值函数 245

9.3.1一维单元的形函数 245

9.3.2平面三角形单元的形函数 247

9.3.3平面四边形单元的形函数 250

9.3.4三维单元的形函数 252

9.4等参数单元插值 256

9.4.1平面三角形等参单元 257

9.4.2平面四边形等参单元 258

9.4.3三维六面体等参单元 260

9.4.4特殊单元 261

9.5刚度矩阵计算 264

9.5.1单元刚度矩阵计算 265

9.5.2单元节点量计算 267

9.5.3总体刚度矩阵合成 267

9.5.4刚度矩阵特点与计算机存储 268

9.5.5单元函数数值微积分计算 270

9.6边界条件的处理方法 272

9.6.1已知函数值的边界条件处理方法 272

9.6.2周期性函数值的处理方法 273

9.7有限元法的前后处理 274

9.7.1节点坐标、编码和单元编码要求 274

9.7.2有限元法自动前处理 275

9.7.3有限元分析结果的后处理 277

9.8有限元法的程序设计与算例 278

9.8.1有限元计算 278

9.8.2流函数的有限元分析 279

9.8.3岩土工程的有限元分析 283

9.9边界元法与无单元法 288

9.9.1热传导边界元分析 288

9.9.2弹性力学边界元方法 293

9.9.3弹性力学无单元法 295

参考文献 298