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第一章微分方程的初等积分法 1

§1微分方程的基本概念 1

目录 1

§2可分离变量方程 10

§3一阶线性微分方程与常数变易法 12

一线性微分方程 12

二求解一阶线性微分方程的常数变易法 13

三非线性模型的线性化 18

§4变量替换法 20

一齐次方程 20

二贝努里（Bernoulli）方程 23

§5全微分方程与积分因子 25

一全微分方程 25

二积分因子 28

一 dny/dxn=f(x)型的微分方程 33

§6可降阶的方程 33

二d2y/dx2=f(x,dy/dx)或dny/dxn=f(x,dn-1y/dxn-1)型 34

的微分方程 34

三d2y/dx2=f(y,dy/dx)型的微分方程 37

§7建立微分方程的示例 38

习题 46

第二章矩阵和行列式 53

§1引言 53

§2矩阵概念 55

§3矩阵运算 58

一矩阵的相等、相加、数乘 58

二矩阵的乘法 60

三方阵的幂 65

四转置矩阵与对称矩阵 67

§4行列式 68

一排列及奇偶性 69

二n阶行列式 71

§5行列式的性质 74

§6子式与代数余子式，行列式按行（列）展开 80

一子式与代数余子式 81

二行列式按一行（列）展开 82

三拉普拉斯（Laplace）展开定理 86

§7方阵乘积的行列式性质 89

§8逆矩阵 91

§9分块矩阵及运算 97

一分块矩阵 97

二分块矩阵的加、减、乘运算 99

三分块矩阵的逆阵 103

§10矩阵的秩与初等变换 107

一矩阵的秩 107

二矩阵的初等变换及初等矩阵 108

三矩阵的初等变换与矩阵秩之间的关系 113

四利用初等变换求逆阵 116

五矩阵相乘的秩的性质 119

习题 120

第三章线性空间与线性方程组 127

§1线性空间概念 127

一线性空间 127

二线性子空间 130

§2向量的线性相关性 133

一线性空间中向量的线性相关性 133

二向量组的极大线性无关组及线性相关性的矩阵判别定理 137

§3线性方程组 141

一线性方程组解的存在定理——克朗南格（Kronecker） 141

相容性定理 141

二非齐次线性方程组的求解 144

三齐次线性方程组的求解 154

一线性空间的基和维 157

§4线性方程组解的结构，齐次线性方程组的解空间 157

二齐次线性方程组解的结构 158

三非齐次线性方程组解的结构 162

§5二向量组等价与线性相关性 164

§6坐标和过渡矩阵 167

一向量的坐标 167

二过渡矩阵与坐标变换 168

习题 173

§1 线性微分方程的一般理论 180

第四章线性微分方程 180

一 齐次线性微分方程解的结构 181

二 非齐次线性微分方程解的结构 188

§2常系数线性微分方程 189

一常系数齐次线性微分方程解法 189

二常系数非齐次线性微分方程解法 196

三非线性模型的线性化 205

§3二阶系统过渡过程稳定性及实例 207

§4一般线性微分方程的一些解法 220

一自变量变换与欧拉（Euler）方程 220

三常数变易法 226

四 幂级数解法大意 231

习题 235

§1线性变换 240

一映射 240

第五章线性变换与二次型 240

二线性空间中的线性变换 242

§2线性变换的矩阵 248

一线性变换在给定基下的矩阵表示 248

二线性变换在不同基下的矩阵及其相互关系 252

§3 特征值与特征向量 254

一 特征值与特征向量的概念 254

二 特征值与特征向量的关系 260

三 矩阵的对角化与特征向量 263

四 凯莱一哈密顿（Cayley-Hamilton）定理与特征多项式 266

§4向量的内积和欧氏空间 269

一向量的内积 270

二标准正交基 273

§5化实对称矩阵为对角阵 277

§6二次型 283

一二次型与对称矩阵 283

二化二次型为标准形（法式） 285

三惯性定理 293

四 正定二次型 295

习题 301

第六章线性微分方程组 307

§1引言 307

§2矩阵函数的导数和积分 309

§3线性微分方程组一般理论 312

§4常系数线性微分方程组的解法 323

一化为高阶方程解法（消元法） 323

二特征根法 325

三矩阵指数法 339

§5变系数线性微分方程组的求解 353

习题 356

第七章定性和稳定性理论初步 359

§1基本概念 359

§2相平面与平衡点类型 367

一相平面 367

二二维自治系统平衡点类型 368

三非线性自治系统的线性化 385

§3李雅普诺夫（ляпунов）稳定性判据 390

习题 394

习题答案 396

二函数的线性变换与降阶法 2222