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实验1 矩阵运算与Matlab命令 1

1.1 知识要点与背景：日常矩阵及其运算 1

1.2 实验与观察：矩阵和Matlab语言 3

1.2.1 向量的生成和运算 3

1. 向量的创建 4

2. 向量的运算 4

1.2.2 矩阵创建和运算 6

1. 创建矩阵 6

2. 矩阵的运算 7

3. 分块矩阵：矩阵的裁剪、分割、修改与抽取 9

4. 生成特殊矩阵 11

5. 常用矩阵函数 12

6. 数据的简单分析 12

1. 帮助和命令窗口 13

1.2.3 Matlab工作环境和编程 13

2. Matlab的基本设计 14

1.3 应用、思考与练习 15

1.3.1 关系矩阵 15

1.3.2 投入产出 16

1.3.3 循环比赛的名次 18

1.3.4 参考程序 20

实验2 函数的可视化与Matlab作图 21

2.1 实验与观察：函数的可视化 21

2.1.1 Matlab二维绘图命令 21

1. 周期函数与线性周期函数 21

2. 指令：绘制直角坐标的二维曲线 22

3. 图形的属性设置和屏幕控制 22

4. 文字标注指令 24

5. 图形窗口的创建和分割 26

1. 绘制二元函数 27

2.1.2 多元函数的可视化与空间解析几何（三维图形） 27

2. 三元函数可视化：slice指令 30

3. 空间曲线及其运动方向的表现：plot3和quiver指令 31

2.2 应用、思考与练习 32

2.2.1 线性P周期函数 32

2.2.2 平面截割法和曲面交线的绘制 34

2.2.3 微分方程的斜率场 36

2.2.4 颜色控制和渲染及特殊绘图指令 37

1. 地理表面的气温分布（sphere指令） 37

2. 旋转曲面的生成：柱面指令cylinder和光照控制指令surfl 39

3. 若干特殊图形 39

实验3 函数式——直接确定型模型 41

3.1 知识要点与背景：函数——直接确定型模型 41

3.2 实验与观察：插值与拟合 42

3.2.1 插值方法与多项式拟合的概念 42

3.2.2 用Matlab作插值和拟合 43

3.2.3 用鼠标选节点观察插值、拟合的效果 44

3.2.4 观察程序说明 45

3.3 应用、思考与练习 47

3.3.1 若干函数的插值和拟合练习 47

3.3.2 几个应用问题 47

1. 机床加工和水深流速问题 47

2. 内燃机转角与升程的关系 48

3. 随高度变化的大气压强 48

4. 交通事故的调查 48

3.3.3 多元函数的插值 49

1. 矩形温箱的温度 49

2. 航行区域的警示线 49

3.3.4 Fuorier级数和周期函数的经验公式 50

3.3.5 由实验到理论：从开普勒定律到牛顿万有引力定律 52

4.1 知识要点与背景：微积分学基本定理 54

实验4 微分、积分和微分方程 54

4.2 实验与观察（I）：数值微积分 55

4.2.1 实验：积分定义、微分方程和微积分基本定理的联系 55

4.2.2 求解数值积分的Matlab积分命令 59

1. 矩形求积指令cumsum 59

2. 梯形公式指令trapz 59

3. 辛普森公式指令quad 60

4. 解一阶微分方程（组）指令ode23、 ode45（龙格-库塔法） 60

4.2.3 观察程序及其说明 61

4.3 实验与观察（II）：Matlab符号微积分简介 62

4.3.1 创建符号变量 62

4.3.2 求符号极限limit指令 63

4.3.3 求导指令diff 63

1. 符号求导指令diff 63

4.3.4 求符号积分int 64

2. 数值求导指令diff 64

4.3.5 化简、提取和代入 65

4.4 应用、思考与练习 66

4.4.1 追击问题 66

1. 追击问题的数值模拟 66

2. 追踪雷达失效的情形 67

3. 追线问题的解析解 68

4.4.2 应用问题 70

1. 枪支的设计 70

2. 天然气井的开采量 71

实验5 用导数作定性分析 72

5.1 知识要点：函数作图——用导数定性描述函数 72

5.2 实验与观察：微分方程的定性解图示 75

5.2.1 人口增长的预测 75

1. Malthus模型 75

2. Logistic模型 76

3. 微分方程解的定性分析 77

4. 用导数作稳定性分析 79

5. 观察程序及其说明 80

5.3 应用、思考与练习 81

5.3.1 函数作图 81

5.3.2 平衡点的分类 82

5.3.3 定性分析的应用 83

1. 捕鱼业持续的收获 83

2. 蚜虫生长和跃变 84

实验6 最优化实验 86

6.1 知识要点与背景 86

6.1.1 由简入繁：最佳水槽断面问题的推广 86

6.1.2 微分法求最大和最小 88

6.2 实验与观察（I）：模拟盲人下山的迭代寻优法 90

1. 观察：运行香蕉函数的优化程序bandemo.m 93

6.3 实验与观察（II）：Matlab优化工具箱简介 93

6.3.1 多元函数无约束优化指令fminunc 和fminsearch 93

2. 使用fminunc 和fminsearch指令 94

3. bandemo.n的简化和剖析 96

6.3.2 其它的优化算法指令fmincon 99

1. 多变量约束优化linprog指令 99

2. 线性规划linprog指令 100

3. 二次规划quadprog指令 101

4. 一元函数寻优fiminbnd指令 101

5. 非线性最小二乘指令lsqnonlin和非线性数据拟合指令lsqcurvefit 101

6.4 应用、思考与练习 103

6.4.1 计算最佳水槽断面面积 103

6.4.2 对约束优化的讨论 104

1. 啤酒配方问题：线性规划 105

6.4.3 工程优化问题的计算 105

2. 储能飞轮的设计 106

3. 齿轮减速器设计 106

实验7 隐函数、方程求根、不动点和迭代 107

7.1 知识要点与背景 107

7.1.1 隐函数存在定理与四连杆机构的运动 107

7.1.2 不动点和函数迭代 108

7.2 实验与观察 109

7.2.1 隐函数的存在定理的可视化 109

1. 隐函数为什么存在？ 109

2. 如何决定隐函数——非线性方程的求根（fzero指令） 111

7.2.2 用蛛网图观察不动点迭代 112

7.2.3 简单和复杂：二次函数的迭代和混沌 115

1. 确定四杆机构的转角关系 118

7.3.1 四连杆输出角的运动规律和动画模拟 118

7.3 应用、思考与练习 118

2. 动画模拟四杆机构的运动 119

7.3.2 轨道飞行器的拦截 120

7.3.3 怎样保证或加速迭代序列的收敛 121

1. 函数越平坦，迭代越快吗？ 121

2. 如何构造迭代函数使之具有较快的收敛速度？ 121

3. 关于迭代的收敛性和收敛速度的定理 122

7.3.4 混沌有哪些特点δ 123

1. Feigenbaum普适常数 123

2. 周期窗口 124

3. 混沌对初值的敏感性 124

4. 其它迭代函数 124

7.4 非线性方程组求解 125

1. 用线性组合的方式产生向量组 127

8.1.1 实验与观察：向量组的线性关系和解线性方程组 127

实验8 线性代数实验 127

5.1 实验（I）：用Matlab学线性代数 127

2. Gauss消元法和向量组的线性关系的判定 129

3. 观察程序 131

8.1.2 应用、思考与练习 133

1. 观察极大线性无关组的意义 133

2. 平面四连杆机构的设计 133

3. 用Matlab做线性代数题（矩阵的符号演算） 135

8.2 实验（II）：矩阵的相似化简 136

8.2.1 实验与观察：矩阵的特征——相似标准形的作用 137

1. 逼近直线的迭代点列 138

2. 估计直线——特征值、特征向量 138

3. 特征值和特征向量决定迭代性质？ 139

4. 观测程序说明 140

1. 植物基因的分布、杂交育种问题 141

8.2.2 应用、思考与练习 141

2. 高维线性离散动力系统 142

3. 主成分分析和线性变换 145

实验9 概率统计实验 151

9.1 实验（I）：Galton钉板试验 151

9.1.1 实验与观察：Galton钉板模型和二项分布 151

1. 动画模拟Galton钉板试验 151

2. 用二项分布描述Galton钉板模型 153

3. 数学期望和平均收益 155

9.1.2 应用、思考与练习 156

1. 二项分布的应用模型 156

2. Galton抽奖模型的奖品设计 158

3. 单服务台定长服务时间排队系统的计算机模拟 159

4. 随机变量的模拟：逆概率法 161

1. 用正态分布描述热轧机模型 162

9.2.1 实验与观察：控制粗轧的浪费 162

9.2 实验（II）：热轧机的调整 162

2. 调整额定长度使浪费最小 163

3. 观察程序 164

9.2.2 应用、思考与练习 166

1. 随机优化：确定热轧机的额定长度 166

2. 二维正态分布：如何制定胖和瘦的标准？ 167

3. 用线性回归方法确定正常体重标准 170

9.3 实验（III）参数估计和假设检验 172

9.3.1 实验与观察：极大似然估计 172

1. 极大似然估计原理：如何决定废品率？ 172

2. 实验观察的参考程序 174

9.3.2 应用、思考与练习 175

1. 用Matlab符号演算求解极大似然估计 175

2. 水库入库径流的分布估计 176

3. 数学建模竞赛：零件的参数设计 179

实验10 数值仿真 184

10.1 知识要点与背景：单自由度阻尼系统 184

10.2 实验与观察：模拟弹簧振动 185

10.2.1 阻尼系统对振动曲线的影响观察 185

1. 振动曲线的可视化 185

2. 观察程序 186

10.2.2 振动弹簧的实时动画 187

1. 实时动画原理 187

2. 句柄图形（Handle Graphics）概念简介 189

10.3 应用、思考与练习 190

10.3.1 Simulink仿真工具简介 190

1. Laplace变换简介 190

2. 方程的框图表示和Simulink仿真简介 191

3. 弹簧振动的Simulink模拟 193

1. 捕鼠器的改进 194

10.3.2 应用实例 194

2. Van der Pol方程 195

10.3.3 物理问题的数值模拟 196

1. 多普勒效应的模拟 196

2. 用image指令模拟两点（双缝）光干涉图案 197

实验11 傅氏分析与小波分析 199

11.1 知识要点——傅氏分析与小波分析 199

11.1.1 傅氏分析 199

11.1.2 小波分析 200

11.2 实验与观察 202

11.2.1 信号频谱分析 202

11.2.2 如何得小波函数 204

11.2.3 单尺度一维离散小波分散与重构 207

11.2.4 多尺度分解与重构 208

11.3.1 信号的奇异性检测 210

11.3 应用、思考与练习 210

11.3.2 信号去噪 211

11.3.3 信号的压缩 211

11.3.4 练习 212

实验12 金融分析实验 213

12.1 知识要点与背景：最优投资组合及其计算 213

12.1.1 包含无风险证券的投资组合 213

12.1.2 无风险证券投资组合的计算 214

12.1.3 观察与思考 216

12.2 机会的价值 218

12.2.1 简单二项式模型机会价值 218

12.2.2 两期二项式模型机会价值 221

12.2.3 观察与思考 222

附录 主要函数命令注释 225

主要参考文献 241