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第1章　矩阵代数 1

1.1　矩阵及其运算 1

1．矩阵的定义 1

2．矩阵的相等 3

3．矩阵的加法 4

4．矩阵的数量乘法 4

5．矩阵的乘法 5

6．矩阵乘法的应用 7

7．矩阵的转置 10

8．Matlab关于数的计算 11

9．Matlab关于矩阵的运算 13

习题1.1 15

1.2　矩阵的分块 17

1．矩阵的分块 18

2．分块矩阵的运算 18

习题1.2 21

1.3　矩阵的初等变换和初等方阵 23

1．矩阵的初等变换 24

2．矩阵的等价 25

3．阶梯形矩阵 25

4．线性方程组求解（高斯消元法） 26

5．初等方阵 29

习题1.3 31

1.4　可逆方阵 32

1．逆矩阵的定义 32

2．可逆方阵的性质 33

3．逆矩阵存在的条件 33

4．A-1的计算 35

5．矩阵方程 37

6．用Matlab求逆矩阵和解矩阵方程 38

习题1.4 40

第2章 方阵的行列式 42

2.1　n阶行列式的定义 42

1．方阵的子阵 42

2．n阶方阵的行列式的定义 42

3．二阶行列式 43

4．三阶行列式 43

5．三角方阵的行列式 44

习题2.1 46

2.2　行列式的行初等变换与行展开式 46

1．第Ⅰ类行初等变换 46

2．行列式按行展开 47

3．第Ⅱ类行初等变换 49

4．第Ⅲ类行初等变换 50

习题2.2 52

2.3　行列式的性质 53

1．方阵乘积的行列式 53

2．转置方阵的行列式 54

3．行列式的列初等变换 54

习题2.3 57

2.4　克拉默法则 59

1．方阵的伴随方阵 59

2．克拉默法则 60

习题2.4 62

第3章　矩阵的秩与线性方程组 64

3.1 向量组及其线性组合 64

1．向量的定义与初等性质 64

2．向量组的线性组合 65

3．向量空间 67

习题3.1 69

3.2　向量组的线性相关性 71

1．向量组线性相关与线性无关的定义 71

2．向量组线性相关与线性无关的判别定理 74

习题3.2 77

3.3　向量组的秩 80

1．向量组的等价 80

2．关于向量组及其等价的一些结论 82

3．向量组的秩 83

4．向量空间的基与维数 85

习题3.3 86

3.4　矩阵的秩 88

1．矩阵的行秩与列秩 88

2．矩阵的秩 90

3．矩阵乘积的秩 95

4．用Matlab求向量组的秩 95

习题3.4 96

3.5　线性方程组解的结构 99

1．线性方程组有解的条件 99

2．齐次线性方程组的解的结构 101

3．非齐次线性方程组的解的结构 105

4．用Matlab解线性方程组 108

习题3.5 109

第4章　线性空间 113

4.1 线性空间与子空间 113

1．线性空间的定义 113

2．线性空间的简单性质 114

3．子空间 116

习题4.1 116

4.2　基变换与坐标变换 117

1．线性空间的基与维数 117

2．向量在一个基下的坐标 118

3．基变换公式 120

4．坐标变换公式 122

习题4.2 125

4.3　线性空间的同构 126

1．线性空间同构的定义 126

2．同构映射的性质 127

习题4.3 128

4.4　线性变换及其矩阵表示式 128

1．线性变换的定义与例子 128

2．线性变换的性质 129

3．线性变换的矩阵 132

习题4.4 134

第5章　向量的内积，二次型 137

5.1 内积，长度，正交性 137

1．向量的内积 137

2．向量的长度 138

3．两个向量的夹角，正交的向量 139

4．正交向量组 140

5．规范正交基 141

6．施密特（Schmidt）正交化过程 142

7．正交阵 143

习题5.1 146

5.2　方阵的特征值与特征向量，相似方阵 147

1．方阵的特征值与特征向量 147

2．特征值的性质 147

3．相似方阵 151

4．方阵的对角化 152

5．代数重数与几何重数 153

6．应用：预测商品销售的趋势 153

7．用Matlab计算方阵的特征值与特征向量 155

习题5.2 157

5.3 与实对称阵正交相似的标准形 158

1．实对称阵的特征值和特征向量 158

2．实对称阵正交相似于实对角阵 160

习题5.3 164

5.4　化二次型为标准形 165

1．实二次型 165

2．二次型的标准形 167

3．实对称阵的合同 168

4．配方法 170

5．实二次型的规范形，惯性定理 174

6．用Matlab把实二次型化简为标准形 175

习题5.4 176

5.5　正定二次型与正定阵 178

1．正定二次型 178

2．顺序主子式 178

3．实二次型正定的等价条件 179

4．应用 183

习题5.5 184

习题解答 185

参考文献 209