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第1章 线性空间与线性算子 1

1.1 集合及其运算 1

一、集合的概念 1

二、集合的包含关系与子集 3

三、集合的交、并、差运算 4

四、集合的直积 6

五、n个集合的交、并及直积 7

1.2 映射及其性质 8

一、映射的概念 8

二、几种重要的映射 9

三、逆映射与复合映射 10

四、可数集及其性质 11

五、任意多个集合的交、并运算 14

六、数域，实数集的确界，重要不等式 15

1.3 线性空间 18

一、线性空间的概念 18

二、线性空间的子空间 22

1.4 线性空间的基与维数 24

一、集合的线性相关性 25

二、基与维数 26

三、元素在基下的坐标 27

1.5 线性算子 29

一、线性算子及其性质 29

二、线性算子的零空间 31

三、线性算子的运算 31

四、线性算子的矩阵 32

习题1 35

A 35

B 36

第2章 矩阵的相似标准形 38

2.1 方阵的特征值与特征向量 38

一、特征值与特征向量的概念 38

二、有关特征值与特征向量的重要结论 41

2.2 相似矩阵 42

一、相似矩阵及其性质 42

二、方阵的相似对角形 44

2.3 多项式矩阵及其Smith标准形 46

一、多项式的有关概念 46

二、多项式矩阵 48

三、多项式矩阵的初等变换 51

四、多项式矩阵的Smith标准形 53

2.4 多项式矩阵的不变因子与初等因子 57

一、多项式矩阵的行列式因子与不变因子 57

二、多项式矩阵的初等因子 62

三、多项式矩阵等价的充要条件 65

2.5 矩阵的Jordan标准形和有理标准形 66

一、方阵相似的充要条件 66

二、方阵的Jordan标准形 67

三、方阵的有理标准形 73

2.6 方阵的零化多项式与最小多项式 78

一、方阵的零化多项式 78

二、方阵的最小多项式 79

三、最小多项式的应用 82

习题2 83

A 83

B 86

第3章 赋范空间 89

3.1 赋范空间的概念 89

一、赋范空间定义及常见的赋范空间 89

二、由范数导出的度量 93

三、等价范数 95

四、赋范空间的子空间 96

3.2 收敛序列与连续映射 97

一、序列的收敛性 97

二、赋范空间中的无穷级数 100

三、映射的连续性 101

3.3 赋范空间的完备性 103

一、Cauchy序列及其性质 103

二、Banach空间 106

三、几个重要的结论 107

3.4 有界线性算子 108

一、线性算子的有界性概念 108

二、有界线性算子的范数 109

三、线性算子的有界性与连续性的关系 112

四、有界线性算子空间 113

五、有界线性算子范数的次乘性 114

3.5 方阵范数与方阵的谱半径 116

一、方阵范数的概念 116

二、方阵的谱半径 119

三、方阵的三种算子范数 122

习题3 124

A 124

B 128

第4章 矩阵分析 130

4.1 向量和矩阵的微分与积分 130

一、单元函数矩阵的微分 130

二、单元函数矩阵的积分 132

三、多元向量值函数的导数 133

4.2 方阵序列与方阵级数收敛的充要条件 135

一、方阵序列收敛的充要条件及性质 135

二、方阵级数收敛的充要条件及性质 137

4.3 方阵幂级数与方阵函数 139

一、方阵幂级数 139

二、方阵函数 143

4.4 方阵函数值的计算 147

一、根据A的Jordan标准形求f（A） 147

二、将f（A）表示为A的多项式 152

三、谱映射定理 155

4.5 方阵函数的一个应用 156

一、一阶线性常系数微分方程组的矩阵表示 156

二、一阶线性常系数微分方程组初值问题的解 157

习题4 161

A 161

B 162

第5章 内积空间与Hermite矩阵 164

5.1 内积空间 164

一、内积空间的概念 164

二、内积的性质 167

三、由内积导出的范数 168

四、内积空间的子空间 171

5.2 正交与正交系 172

一、正交及其性质 172

二、正交系、标准正交系及其性质 173

三、正交化方法 176

5.3 正规矩阵及其酉对角化 180

一、正规矩阵的概念 180

二、酉矩阵的充要条件及其性质 181

三、正规矩阵的充要条件 184

5.4 正定矩阵 185

一、Hermite矩阵的性质 185

二、Hermite矩阵的分类 189

三、正定矩阵的充要条件及其性质 189

习题5 192

A 192

B 194

第6章 线性方程组的解法 196

6.1 线性方程组的性态、严格对角占优矩阵 196

一、线性方程组的性态 196

二、矩阵的条件数 198

三、严格对角占优矩阵及其性质 202

6.2 解线性方程组的Gauss消去法 205

一、顺序Gauss消去法 205

二、列主元素Gauss消去法 209

三、解三对角方程组的追赶法 211

6.3 解线性方程组的迭代法 217

一、迭代法的基本思想及有关概念 217

二、简单迭代格式及其收敛性判别 218

三、Jacobi迭代法 221

四、Gauss-Seidel迭代法 227

五、解线性方程组迭代法小结 232

习题6 232

A 232

B 234

第7章 插值法与数值逼近 236

7.1 插值法概述 236

一、插值问题 236

二、多项式插值 237

三、带导数的插值公式、分段插值与样条插值简介 240

7.2 Lagrange插值 243

一、Lagrange插值公式 243

二、Lagrange插值的误差估计 247

7.3 Newton插值 251

一、Newton插值多项式 251

二、差商及其性质 253

7.4 Hermite插值 256

一、Hermite插值公式 256

二、Hermite插值余项 258

7.5 三次样条插值 260

一、三次样条插值函数 260

二、三次样条插值函数的构造方法 261

三、插值余项及收敛性 271

7.6 最佳平方逼近 272

一、函数的最佳逼近 272

二、用正交多项式作函数的最佳平方逼近 276

三、曲线拟合的最小二乘法 280

习题7 286

A 286

B 288

第8章 数值积分与数值微分 290

8.1 数值求积公式及其代数精度 290

一、数值求积公式的一般形式 290

二、求积公式的代数精度 291

8.2 Newton-Cotes公式——等距节点的插值型求积公式 293

一、插值型求积公式及其余项 293

二、Newton-Cotes公式 295

8.3 复化求积法 298

一、复化求积公式 298

二、变步长求积公式 302

8.4 Romberg算法与Gauss型求积公式 305

一、变步长求积公式之间的关系 305

二、Romberg算法 307

三、Gauss型求积公式简介 309

8.5 数值微分简介 314

一、插值型求导公式 315

二、两点数值微分公式和三点数值微分公式 316

习题8 319

A 319

B 320

第9章 常微分方程的数值解法 322

9.1 常微分方程数值解法概述 322

一、一阶常微分方程初值问题解的存在唯一性 322

二、数值解法的基本概念 323

三、数值方法的截断误差与阶 329

9.2 Runge-Kutta法 330

一、Runge-Kutta法的基本思想 330

二、二阶Runge-Kutta格式 331

三、四阶Runge-Kutta格式 332

9.3 收敛性与稳定性 335

一、收敛性 336

二、稳定性 337

9.4 一阶常微分方程组和高阶常微分方程初值问题的数值解法 340

一、一阶常微分方程组初值问题的数值解法 340

二、高阶常微分方程初值问题的数值解法 344

习题9 347

A 347

B 348

第10章 广义逆矩阵及其应用 350

10.1 广义逆矩阵A- 350

10.2 矩阵的满秩分解 353

一、矩阵满秩分解的概念 353

二、矩阵满秩分解的方法 354

10.3 矩阵的奇异值分解 356

10.4 广义逆矩阵A+ 361

10.5 有解方程组的通解及最小范数解 369

10.6 无解方程组的最小二乘解 374

习题10 376

A 376

B 377

参考文献 379