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第一章 复变函数及其极限和连续性 1

§1-1 复数及其运算 1

一、复数的概念与几何表示——复平面 1

二、复数的模与辐角 2

三、复数相等的条件及其基本运算 4

四、复球面与扩充复平面 8

习题一 9

习题答案 11

§1-2 复平面曲线与区域 11

一、复平面曲线方程 11

二、简单曲线与光滑曲线 13

三、平面点集与区域 14

习题二 16

习题答案 17

§1-3 复变函数与整线性映射 18

一、复变函数的概念 18

二、映射——复变函数的几何意义 19

三、整线性映射及其保圆性 22

习题三 23

习题答案 24

§1-4 复变函数的极限和连续 24

一、复变函数的极限 24

二、复变函数的连续性 26

习题四 28

习题答案 28

一、复变函数的导数和微分 29

第二章 解析函数 29

§2-1 导数与函数可导的充要条件 29

二、函数在一点可导的充要条件 33

习题一 37

习题答案 37

§2-2 函数解析的概念和充要条件 38

一、函数解析的概念和充要条件 38

二、解析函数的运算和举例 39

三、指数函数ez及其性质 41

习题二 42

习题答案 43

§2-3 初等解析函数 44

一、对数函数 44

二、幂函数 46

三、三角函数和双曲函数 47

四、反三角函数与反双曲函数 49

习题三 50

习题答案 51

§2-4 平面场的复势 52

一、复变函数与平面向量场 52

二、平面流速场的复势 53

三、静电场的复势 57

习题四 60

习题答案 60

§3-1 复积分的概念与简单性质 61

一、复积分的概念 61

第三章 复积分 61

二、复积分的存在定理和一般计算公式 62

三、复积分的简单性质 64

习题一 66

习题答案 67

§3-2 柯西(Cauchy)积分定理和积分与路径无关的条件 67

一、柯西-古萨(Cauchy-Gonrsat)基本定理 67

二、单连域内解析函数的原函数 70

三、复闭路定理 72

习题二 74

习题答案 76

§3-3 柯西积分公式和高阶导数公式 76

一、解析函数的柯西积分公式 76

二、解析函数的高阶导数 78

三、解析函数与调和函数的关系 81

习题三 84

习题答案 87

一、复数列及其收敛的充要条件 88

第四章 复级数 88

§4-1 复数项级数和幂级数 88

二、复数项级数及其收敛性判别法 89

三、幂级数及其收敛半径 90

四、幂级数的运算及其性质 94

习题一 97

习题答案 98

§4-2 台劳(Taylor)级数 99

一、台劳级数展开定理 99

二、初等函数的台劳级数展开式 103

习题二 109

习题答案 110

§4-3 罗伦(Laurent)级数 111

习题三 118

习题答案 119

§5-1 函数的孤立奇点和留数的概念 121

一、孤立奇点和留数的概念 121

第五章 留数及其在积分计算中的应用 121

二、孤立奇点的分类 123

三、函数在无穷远点的性态 125

四、用函数的零点判别极点的类型 126

习题一 128

习题答案 129

§5-2 留数定理和留数的计算 130

一、留数定理 130

二、留数的计算规则和复积分计算 131

三、不定型极限的计算规则 133

四、函数在孤立奇点无穷处留数的计算 138

习题二 139

习题答案 141

§5-3 留数在定积分计算中的应用 142

一、形如?的积分 142

二、形如?的积分 145

三、形如?的积分 148

习题三 151

习题答案 152

§5-4 零点个数的计算 152

一、对数留数 152

二、辐角原理 154

三、路西(Rouche’)定理 156

习题四 158

第六章 保角映射 159

§6-1 保角映射的概念 159

一、曲线的切线方向和两条曲线的夹角 159

二、解析函数导数的几何意义 160

三、保角映射的概念和定理 163

习题一 164

习题答案 165

§6-2 分式线性映射及其性质 165

一、在扩充复平面上的保圆性 166

二、在扩充复平面保持交比的不变性 167

三、对扩充复平面上圆周的保对称性 171

四、对有向圆周和直线的保侧性 173

五、三种特殊的分式线性映射 178

习题二 183

习题答案 184

§6-3 几个初等函数所构成的映射 184

一、对数映射ω=lnz和指数映射ω=e~z 184

二、幂映射ω=z~n及其逆映射(n=2，3，…) 186

三、儒可夫斯基(Н．Е．Жуковский)函数 194

习题三 197

习题答案 198

§6-4 保角映射几个一般性定理及其应用 199

一、保角映射的几个一般性定理 200

二、许瓦尔兹-克力斯托夫(Schwarz-Christoffel)映射——多角形映射 202

三、用保角映射解Laplace方程边值问题 212

习题四 215

习题答案 216

附录 本书参考文献和推荐参考书 217