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第一章 复数与复变函数 1

§1 复数及其几何表示 1

1.1 复数在平面上的几何表示 1

1.2 复数的运算 2

1.3 复球面及无穷大 6

§2 复变函数 7

2.1 区域与曲线 7

2.2 复变函数的概念 8

2.3 复变函数的极限 10

2.4 复变函数的连续性 11

习题一 12

第二章 解析函数 13

§1 解析函数的概念 13

1.1 复变函数的导数 13

1.2 解析函数的概念 15

§2 函数解析的充要条件 16

§3 初等函数 20

3.1 指数函数 20

3.2 对数函数 21

3.3 幂函数 22

3.4 三角函数 23

3.5 反三角函数 24

3.6 双曲函数与反双曲函数 25

习题二 25

第三章 复变函数的积分 27

§1 复变函数积分的概念 27

1.1 积分的定义与计算 27

1.2 积分的性质 30

§2 柯西积分定理 32

2.1 柯西-古萨特基本定理 32

2.2 复合闭路定理 33

2.3 原函数 35

§3 柯西积分公式 37

§4 解析函数的高阶导数 39

§5 解析函数与调和函数的关系 42

习题三 46

第四章 级数 48

§1 复级数 48

1.1 复数项级数 48

1.2 复变函数项级数 50

§2 泰勒级数 54

§3 洛朗级数 59

3.1 洛朗级数及其收敛圆环 59

3.2 洛朗展开定理 60

习题四 67

§1 孤立奇点 69

1.1 孤立奇点的类型 69

第五章 留数 69

1.2 函数的零点与极点的关系 72

1.3 函数在无穷远点的性态 75

§2 留数 78

2.1 留数的定义及留数定理 78

2.2 函数在极点的留数 79

2.3 无穷远点的留数 82

§3 留数在定积分计算中的应用 84

3.1 形如？的积分 84

3.2 形如？的积分 86

3.3 形如？的积分 88

3.4 综合举例 90

习题五 93

第六章 共形映射 95

§1 导数的几何意义与共形映射 95

1.1 曲线的切向量 95

1.2 导数的几何意义 96

1.3 共形映射的概念 98

§2 分式线性映射 98

2.1 分式线性映射的三种特殊形式 99

2.2 分式线性映射的性质 100

2.3 唯一决定分式线性映射的条件 103

2.4 两个典型区域间的映射 104

§3 几个初等函数所构成的映射 107

3.1 幂函数w=zn（n≥2为整数） 107

3.2 指数函数w=ez 109

习题六 111

第七章 傅里叶变换 113

§1 傅里叶级数 113

§2 傅里叶积分与傅里叶变换 118

2.1 傅里叶积分公式 118

2.2 傅里叶变换 119

§3 单位脉冲函数（δ函数） 122

3.1 δ函数的引入及物理描述 122

3.2 弱极限与δ函数的性质 124

3.3 δ函数的傅氏变换 125

§4 傅氏变换的性质 128

4.1 基本性质 128

4.2 卷积与卷积定理 133

§5 其他种类的傅里叶变换 136

5.1 序列的傅里叶变换 136

5.2 单边傅里叶变换 138

习题七 141

第八章 拉普拉斯变换 144

§1 拉普拉斯变换的概念 144

1.1 拉普拉斯变换的定义 144

1.2 拉普拉斯变换存在定理 146

2.1 拉氏变换的基本性质 147

§2 拉氏变换的性质 147

2.2 拉氏变换的卷积定理 153

§3 拉普拉斯逆变换 155

3.1 反演积分公式 155

3.2 利用留数计算反演积分 155

§4 常微分方程的拉氏变换解法 157

习题八 160

第九章 应用问题选读 162

§1 快速傅氏变换应用软件的使用 162

1.1 离散傅氏变换 162

1.2 快速傅氏变换应用软件的使用 163

§2 离散信号的z变换 165

§3 线性时不变系统的数学描述 166

3.1 连续线性时不变系统 166

3.2 离散线性时不变系统 168

4.1 相关函数的概念与性质 169

§4 相关函数与能量谱密度 169

4.2 相关函数与能量谱密度的关系 171

§5 平面场的复势 174

5.1 用复变函数表示平面向量场 174

5.2 平面流速场的复势 175

5.3 静电场的复势 177

§6 辐角原理及其应用 179

6.1 对数留数 179

6.2 辐角原理 180

6.3 儒歇定理 181

习题九 183

习题参考答案 184

附录1 傅氏变换简表 192

附录2 拉氏变换简表 195

附录3 FFT子程序 200

参考文献 203