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第一章　多维地震反演 1

1.1　反问题和成像 1

纪念Jack K Cohen 1

1.2　地震反问题的非线性 3

1.3 高频 3

1.4　偏移与反演 4

图1.1　合成记录由程序CSHOT产生．（a）合成零偏移距地震剖面；（b）地球模型 5

1.5　源检组合方式 7

图1.3　一个共偏移距地震剖面示意图 8

图1.4　一个共中心点地震剖面示意图 8

图1.2　一个共源（炮）地震剖面示意图 8

1.6　数据的频带和孔径限制 10

1.7　维数：2D与2.5D与3D 12

1.8　声学反演与弹性反演 12

图1.5　作图法偏移的一个例子 13

1.9　几何学偏移的数学观点 13

第二章　一维反问题 15

2.1　一维空间中问题的形式 15

2.1.1　地球物理意义下的1D模型 15

图2.1 一条测井曲线及相应反射率函数的草图表示．反射率函数可表示成一个脉冲序列，也可表示成一个地震记录．反射率函数不同于地球物理学家的反射率序列，在于没有表示多次反射，脉冲的位置与反射面的位置相同．右边地震记录是一个我们想要的理想地震偏移给出的形式 16

2.1.2　作为数学测试基础的一维模型 16

2.2.1　控制方程和辐射条件 17

2.2　正演模拟的数学工具 17

2.2.2　傅里叶变换约定 18

图2.2　对极点在ω=±ck处的简单情况，积分路径Γ的示意图 18

2.2.3　格林函数 19

图2.3　对极点在k=±ω/c处的简单情况，积分路径Γ的示意图 19

2.2.4　格林定理 20

2.3　正散射问题 22

2.3.1 1D中的正散射问题 22

图2.4　一个背景波速剖面c（x）和一个真实波速剖面v（x）的草图 23

2.3.3　逆散射积分方程 25

2.3.2　波恩近似和它的结果 25

2.4　常数背景零偏移距反演 26

2.4.1　常数背景、单层 27

图2.5 （a）一个阶梯函数的全带宽表示；（b）一个只缺零频率信息的阶梯函数 29

图2.6　一个阶梯函数的0～50Hz带宽表示（采样间隔4ms） 30

图2.7 （a）一个阶梯函数的4～50Hz带宽表示（4ms采样间隔）；（b）一个阶梯函数的10～50Hz带宽表示（4ms采样间隔） 31

图2.8　一个阶梯函数的10～50Hz带宽表示（4ms采样间隔），（导数）算子—iω已作用于该阶梯函数，所得的振幅由该滤波器下的面积标度 32

图2.9 （a）一个阶梯函数序列的全带宽表示；（b）上面一个阶梯函数序列的10～50Hz带宽表示（4ms采样间隔），（导数）算子—iω已用于该函数 33

图2.10　用于练习2.11中的数值例子的1D波速剖面 36

2.4.2　多层、累积误差 36

2.4.3　数值例子 37

2.4.4　总结 37

图2.11　（a）在图2.10中模型之上记录的一个合成地震道．数据的带宽为一梯形，梯形拐角频率分别为10、20、50和60Hz．尽管有5个多次反射，仅容易识别3个反射；（b）根据2.4.2节中的理论所进行的合成数据的反演．第一反射面和第二反射面的精确反射系数分别为R1精确＝1/2和R2精 38

2.5　变背景介质的反演 39

2.5.1　现代数学问题 41

2.5.2　总结 43

2.5.3　变波速理论的完成 45

2.5.4　总结 49

2.6　小扰动假定的再评价 50

2.7　计算机实现 50

采样 51

2.8　变密度 52

第三章　高维中的反演 57

3.1　无限介质中的散射问题 58

3.2　波恩近似 61

3.2.1　波恩近似和高频 64

3.2.2　常数背景零偏移距方程 66

3.2.3　α有一个自由度的实验 67

3.3　3D零偏移距常数背景反演 69

图3.1　方程（3.3.13）所包含的复k3平面的限制 72

k3选择的限制 72

3.4　再说高频 73

图3.2　单个倾斜平面 76

3.4.1　来自一个倾斜平面的反射 76

3.4.2　反射率函数 77

图3.3　黑线描绘位于地下半圆柱体轴线上的一个震源-检波器排列，阴影带仅是半圆柱体之上许多可能区域之中的两个，它表示排列拾取的数据 79

3.4.3　反射率函数的另一种表示 79

3.5　二维半 79

图3.4 黑线描绘位于一个2.5D模型之上的一个震源-检波器排列，所有的射线路径都局限于ξ2=0的平面内 80

零偏移距二维半反演 81

3.6.1　稳相计算 82

3.6　Kirchhoff反演 82

3.6.2　二维半Kirchhoff反演 88

3.6.3　2D模拟和反演 90

3.7　用Kirchhoff数据测试反演公式 93

3.7.1　Kirchhoff近似 93

3.7.2　Kirchhoff数据的渐近反演 94

图3.5 （a）成像问题的一般几何图形；（b）稳相点附近的x值的几何图形 95

图3.6　一个反射面（从边缘看）的奇异函数γ（x），它表示为有限带宽δ函数δB（s），其中s是面的法线坐标 96

3.7.3　总结 99

3.8 由Kirchhoff近似导出的逆时波动方程偏移 102

第四章　大波数傅里叶成像 105

4.1　孔径的概念 106

4.2　孔径和测量参数之间的关系 107

4.2.1　射线、傅里叶变换和孔径 107

4.2.2　孔径和偏移倾角 108

4.2.3　偏移倾角和孔径 109

图4.2　位于一个共偏移距勘测的数据采集线之下的两个输出点之上的k域孔径．在每一种情况中，波数域局限在一个环形扇形中．环形的内外半径分别由2|ωmin|cosθ/c和2|ωmax|cosθ/c计算．这里2θ是？和？之间的张角．零偏移距孔径是θ=0的特殊情况，孔径由程序KAPERTURE计算 110

图4.1 （a）表示xs处的单个源和xg处的单个检波器之间的孔径的合成k向量．孔径是ωmin[？+？]/c和ωmax[？+？]/c之间的线段；（b）当源位置xs固定，检波器位置从xs到xg时，孔径是两个半圆形圆弧之间的区域 110

图4.4　位于有重叠的共炮勘测数据采集线之下的三个输出点处的k域孔径．源位于从标为第一xs点到标为最后xs点范围之内．检波器位于从标为第一xs到标为最后xg的范围之内．最大孔径在源检覆盖的重叠达到最大值的区域中．（孔径由KAPERTURE计算） 111

图4.3　位于一个共炮勘测的采集线之下的两个输出点处的k域孔径（由程序KAP-ERTURE计算） 111

图4.5　位于共偏移距勘测之下的两个输出点处的k域孔径．黑箭头是向量？s和？，分别表示各个源路径和接收点路径？、？、？、？的单位向量．虚箭头是合成向量［？+？］和［？+？］，它们指向合成的波数向量方向．波数向量与偏移倾角有关．带点的箭头表示合成向量［？+？］，它 112

图4.7　在一个理想的VSP“变井源距”剖面之中的9个输出位置处的k域孔径，有多个源，源离井的距离逐渐增加，井中有多个检波器．虽然达到了最大｜k｜值，但角度孔径对来自单个源的结果没有较大的改善．（孔径由KAPER-TURE计算） 113

图4.6 在一个单炮VSP剖面中9个输出位置处的k域孔径．反射面从右向左倾斜且局限在一个相对窄的将要被成像的倾角范围内．由于孔径的择优取向性，从左向右倾的反射面不被成像．另外，点散射体在从左向右倾斜的线段中将模糊不清．圆表示可能的最大k值．（孔径由KAPERTURE计算） 113

图4.8　在一个理想的单个共炮跨井实验中的9个输出点处的k域孔径．（孔径由KAPERTURE计算） 114

4.2.4　总结 114

图4.9　在一个理想的共炮跨井勘测中的7个输出点处的k域孔径，在两个井中有多个源和多个检波器．（孔径由KAPERTURE计算） 114

4.3　有限孔径傅里叶反演的例子 115

4.3.1　一个狄拉克δ函数的有限孔径反演（一个点散射体） 116

图4.10　在方程（4.3.3）中的域Dk 116

图4.11 （a）二维空间中的一个点散射体；（b）在（k1,k2）一平面中的一个箱形区域，它不含源点及k1和k2轴；（c）应用该滤波器后的脉冲数据的图像；（d）相同输出的地震波形道表示 117

4.3.2　一个奇异函数的有限孔径反演（一个反射平面） 118

图4.13 （a）二维空间中的一个线散射体；（b）在（k1,k2）平面中的一个矩形区域，区域包括线散射体的垂直方向；（c）应用该虑波器后的线散射体的图像；（d）相同输出的地震波形道表示 119

图4.12 （a）表示线x=0的奇异函数的合成数据；（b）包含x=0法线的k域；（c）使用该k域孔径的数据的反演 119

图4.14 （a）不含x=0的法线方向的k域；（b）使用该k域孔径，对图4.1（a）中数据的反演；（c）与（b）有相同的输出，标度到6次幂的数量级 120

4.3.3　推广到其他类型的面奇异函数——渐近计算 120

图4.15 （a）表示一个圆的奇异函数的合成数据；（b）无角度限制但有振幅限制的一个k域；（c）对（a）中数据的反演结果，使用（b）的积分范围 122

4.3.4　关于逆散射 123

4.3.5　更光滑函数的有限孔径傅里叶反演 123

图4.16 （a）角度和振幅都有限制的另一种k域；（b）用图4.16（a）中有限制的孔径，对图4.15（a）中数据的反演结果 123

4.3.6　阶梯型函数的有限孔径傅里叶反演 124

4.3.7　一个斜坡型函数的有限孔径傅里叶反演 126

4.3.8　一个无限次可微函数的有限孔径反演 127

4.4　有限孔径傅里叶恒等算子 128

4.3.9　总结 128

4.4.1　Dy′中边界值的意义 130

图4.17 极坐标单位向量 131

4.4.2　关于I0的稳相分析 131

图4.18　稳相点的几何图形．（a）选择点y′，使y—y′和？共线；（b）对所有稳相点，向量？和—？与y—y′和？共线．在y=y′处有特异的稳相点 132

图4.19 角度γ 134

4.4.3　近表面条件 136

4.4.4　提取f在Sy′上的信息 136

4.4.5　对边界面Sy′的一个标度后的奇异函数的处理 137

4.4.6　法方向 139

4.4.7　具有其他奇异性类型的被积函数 139

4.4.8　总结 140

4.4.9　现代数学问题 141

第五章　非均匀介质中的反演 142

5.1　波恩近似积分方程的渐近反演——一般结果 142

5.1.1　观测系统 142

图5.1　一般的源和接收点的位置，曲面由ξ参数化，（a）表示一般的共源实验，（b）表示一般的共偏移距方式 143

5.1.2　3D变背景逆散射问题的公式 144

5.1.3　一个反射率函数的反演 148

5.1.4　渐近证明的总结 149

5.1.5　二维反演 149

5.1.6　一般反演结果、稳相三元组和cosθs 152

图5.2 由源点xs、检波点xg和反射面上的反射点x构成的“稳相三元组”示意图 152

图5.3 当存在稳相三元组时，输出点y也是反射面上的稳相点x．从输出点到源点的射线方向沿着？τs≡？yτ（y,xs）的方向，从输出点到检波点的射线方向沿着？τg≡？yτ（y,xg）的方向．对该镜像反射射线的特例，张角2θs是这两个向量之间的夹角 152

5.1.7　另一种推导：在反射面处去掉小扰动限制 155

5.1.8　讨论 157

图5.4　慢度向量？g和？s的几何图形．张角2θ是该向量之间的夹角，当输出点y描述一个镜像反射点时，向量？s+？g的方向垂直于反射面 158

5.2　Beylkin行列式h和3D反演的特殊情况 158

5.2.1　Beylkin行列式的一般特性 158

5.2.2　共炮反演 160

5.2.3　共偏移距反演 162

5.2.4　零偏移距反演 164

5.3　Beylkin行列式与共炮和共接收点排列中的射线雅可比行列式 164

5.4　单反射面Kirchhoff数据的渐近反演 169

5.4.1　Kirchhoff数据反演的稳相分析 169

5.4.2　cosθs和c＋的确定 173

5.4.3　求稳相点 174

图5.6　走时面φ（x,ξ）和φ（y,ξ），其中前者受到稳相条件式（5.4.28）的限制 175

图5.5　用于共炮反演的稳相三元组 175

5.4.4　矩阵符号差的确定 176

5.4.5　商h/|det[φξσ]|1/2 176

图5.7　在共偏移距情况下，用于平面反射面、平面源检面和常数背景波速的稳相三元组 176

5.5　基于傅里叶成像原理的证明 178

5.6　变密度 181

5.6.1　变密度反射率反演公式 182

5.6.2　变密度反射率公式的含义 183

5.7　结果与限制的讨论 183

总结 185

第六章　二维半反演 186

6.1　2.5D射线理论和模拟 186

二维半射线理论 186

图6.1 一个共炮实验中的2.5D面内方式的射线传播示意图 187

6.2　2.5D反演和射线理论 191

6.2.1　2.5D Beylkin行列式 192

6.2.2　一般的2.5D反射率反演公式 193

6.3 Beylkin行列式H与2.5D反演的特殊情况 195

6.3.1　Beylkin行列式的一般性质 196

6.3.2　共炮反演 197

6.3.3　一个数值例子——从共炮反演中提取反射率 197

图6.2 （a）两个平层模型；（b）模型之上的共炮地震剖面（由程序CSHOT所生成）；（c）由方程（6.3.9）计算的反射率函数的反演结果；（d）由方程（6.3.9）计算的反射率乘以cosθ的反演结果，其中使用了由CXZCS程序生成的精确波速剖面；（e）从地震反演振幅中提取的第一个层 198

6.3.5　垂直地震剖面 199

6.3.4　常数背景传播速度 199

图6.3　在一个2.5D模型中的一个VSP测量的示意图，仅画出表示散射能量的射线 200

6.3.8　共偏移距反演 201

6.3.7　反演什么 201

6.3.6　井到井反演 201

图6.4 （a）两个平层模型；（b）模型之上的地震剖面，由程序CSHOT产生；（c）由方程（6.3.9）计算的反射率函数的反演结果；（d）由方程（6.3.9）计算的反射率乘以cosθ的反演结果，其中使用了由程序CXZCO［Hsu，1992］产生的精确波速剖面；（e）从地震数据中提取出的第 202

6.3.9　一个数值例子——从一个共偏移距反演中提取反射系数和cosθs 202

6.3.10　一个数值例子——用共偏移距反演对一个向斜进行成像 203

6.3.11　常数背景反演 203

图6.5　（a）具有分片常数光滑波速和密度的简单向斜模型；（b）模型之上的共炮地震剖面，由程序CSHOT产生；（c）由方程（6.3.9）计算的反射率的反演结果，假定背景为精确波速，在射线追踪不好的点处出现绕射笑脸 204

6.3.12　零偏移距反演 205

第七章　数据变换的一般理论 206

7.1　数据变换介绍 206

7.1.1　Kirchhoff数据变换（KDM） 208

7.1.2　振幅保持 208

7.1.4　可能的Kirchhoff数据变换 209

7.1.3　KDM平台公式的一个大致梗概 209

7.2　3D Kirchhoff数据变换公式的推导 211

7.2.1　KDM算子的空间结构 213

7.2.2　算子的频率结构和渐近初步 214

图7.1　一个等时面例子：常数背景，存在偏移距．该等时面是共偏移距或共炮源检组合方式的结果 214

图7.2　一个2.5D的输入源检组合的等时与输出源检组合的等时线相交的例子．这里用一个常数背景波速，已经使用了椭圆和TZO的圆，TZO是共偏移距数据到零偏移距数据的变换 215

图7.3　来自两个走时函数的等时面的一个切点．它对应于在一个等时面积分中的一个普通稳相点 215

7.2.3　入射角的确定 216

图7.4　沿着一条旋转曲线等时面切触 216

7.3　2.5D Kirchhoff数据变换 217

7.4 KDM应用于2.5D Kirchhoff数据 218

入射角的确定 218

图7.5　当x在SR上时，关于ξ1的稳相点．选择ξ1使xR(？(ξ1))=x 221

7.4.1 2.5D KDM的渐近分析 224

图7.6　等时线坐标系 225

7.4.2　关于γ的稳相分析 226

7.4.3 稳相分析的有效性 228

7.5　接收点（或源点）的共炮下延拓 230

图7.7　在常数背景介质中，关于γ的稳相分析的几何图形，用于接收点向下延拓 231

7.5.1　用于其他实现的时间域数据变换 232

7.5.2　关于t1的稳相 233

7.6.1　频率域中的TZO 235

7.6　2.5D变换到零偏移距（TZO） 235

图7.8　将有限偏移距数据变换到零偏移距的射线几何图形 236

7.6.2　一个Hale型TZO 240

7.6.3　Gardner/Forel型TZO 241

7.6.4　相位二阶导数的简化 242

图7.10　等时线τ和τs之交点的切线和法线，除？τ外，所有向量均为单位向量 244

图7.9　三个等时线τ、τs和τg在稳相点处相交 244

图7.11　三个等时线τs、τg和τ与各自切向量的交点 246

图7.12　等时线τs和τ与有关单位向量的交点 247

图7.13　用于3D数据变换的等时面和坐标系 249

7.7　3D数据变换 249

7.7.1　关于γ的稳相 249

7.7.2　相位二阶导数的讨论 251

7.7.3　3D常数背景TZO 253

7.7.4　作为一个带限δ函数的γ2积分 254

7.7.5　常数背景中的空间／频率TZO 256

7.8　总结和结论 258

7.7.6　一个Hale型3DTZO 258

附录A　广义函数论 260

A.1　引言 260

A.2　通过狄拉克δ函数局部化 260

A.3　广义函数的傅里叶变换 265

A.4　快速递减函数 266

A.5　缓增广义函数 267

A.6　广义函数的支集 267

A.7　阶梯函数 269

A.7.1　Hilbert变换 270

A.8　带限广义函数 271

B.1　引言 274

附录B　因果函数的傅里叶变换 274

图B.1　通过被积函数中任何一个极点之上的积分路径部分，用ΓR表示．当｜R｜→∞时，根据约当（Jordan）定理，标为C的积分路径产生一个趋于零的贡献．根据柯西（Cauchy）定理，围绕整个路径的积分为零，因为它不包括极点 276

B.2　例子：1D自由空间格林函数 277

图B.2　如前面的例子一样，通过被积函数中±ck处的极点之上的积分路径，用ΓR表示．但选取标为C的积分路径使ω的下半平面闭合．根据约当定理，路径C的贡献为零，但根据留数定理，围绕整个路径的积分产生一个非零的结果 278

C.1.1　数学量纲分析 280

C.1　波动方程 280

附录C　量纲变量与无量纲变量 280

C.1.2　物理量纲分析 281

C.2　Helmholtz方程 282

C.3　反演公式 284

附录D　病态的例子 288

反演中的病态 288

附录E　射线理论和Krichhoff近似的基本介绍 291

E.1　程函方程和输运方程 291

E.2　用特征线法求解程函方程 293

E.2.1　程函方程的特征方程 295

E.2.2　选择λ=？:σ作为运动参数 296

E.2.3　选择λ=？：走时τ作为运动参数 297

E.2.4　选择λ=c(x)/2：弧长s作为运动参数 297

E.3　射线振幅理论 298

图E.1　射线管示意图．管的侧面由射线组成，而顶底面是常数为σ的表面．顶底面分别由∑（σ1）和∑（σ2）表示，且有单位法向量？1和？2．坐标γ1和γ2将顶底面参数化，用来标示每条射线，在每条射线上，它是常数．坐标σ沿每条射线是一个运动参数．注意到向量p（σ1） 299

E.3.1　输运方程的ODE形式 300

E.3.2　行列式的微分 300

E.3.3　式（E.3.12）的验证 302

E.3.4　高阶输运方程 303

E.4　确定射线方程的初始数据 303

E.4.1　3D格林函数的初始数据 303

E.4.2　2D格林函数的初始数据 306

E.4.3　反射和透射射线的初始数据 307

E.5　2.5D射线理论 310

E.5.1　2.5D射线方程 310

E.5.2　2.5D振幅 311

E.5.3　2.5D输运方程 312

E.6　变密度介质中的射线追踪 313

E.6.1　变密度介质中的射线振幅理论 313

E.6.2　变密度介质中的反射和透射射线 314

E.7　动力学射线追踪 315

E.7.1　一个简单例子，在常数波速介质中的射线追踪 317

E.7.3　以τ表示的动力学射线追踪 318

E.7.2　以σ表示的动力学射线追踪 318

E.8　Kirchhoff近似 319

E.7.5　结论 319

E.7.4　二维 319

E.8.1　问题的公式化 320

E.8.2　格林定理和波场表示 321

图E.2　Kirchhoff近似推导中所用区域的简图描述 322

E.8.3　Kirchhoff近似 324

E.8.4　2.5D 326

E.8.5　总结 327

参考文献 328

人名索引 335

译后记 337