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第1章 绪论 1

1.1 计算机科学计算研究的对象和特点 1

1.2 向量与矩阵的范数 3

1.2.1 向量范数 3

1.2.2 范数的等价性 4

1.2.3 矩阵范数 5

1.2.4 相容矩阵范数的性质 8

1.3.2 误差的基本概念和有效数字 9

1.3.1 误差的来源与分类 9

1.3 误差分析与数值方法的稳定性 9

1.3.3 函数计算的误差估计 11

1.3.4 计算机浮点数表示和舍入误差 12

1.3.5 数值方法的稳定性和避免误差危害的基本原则 13

习题1 16

第2章 矩阵变换和计算 18

2.1 矩阵的三角分解及其应用 18

2.1.1 Gauss消去法与矩阵的LU分解 18

2.1.2 Gauss列主元消去法与带列主元的LU分解 22

2.1.3 对称矩阵的Cholesky分解 27

2.1.4 三对角矩阵的三角分解 28

2.1.5 条件数与方程组的性态 30

2.1.6 矩阵的QR分解 33

2.2 特殊矩阵的特征系统 36

2.3 矩阵的Jordan分解介绍 38

2.4 矩阵的奇异值分解 45

2.4.1 矩阵奇异值分解的几何意义 45

2.4.2 矩阵的奇异值分解 46

2.4.3 用矩阵的奇异值分解讨论矩阵的性质 48

习题2 49

第3章 逐次逼近法 52

3.1 解线性方程组的迭代法 52

3.1.1 简单迭代法 53

3.1.2 迭代法的收敛性 58

3.2 非线性方程的迭代解法 63

3.2.1 简单迭代法 63

3.2.2 Newton迭代法及其变形 68

3.2.3 多根区间上的逐次逼近法 73

3.3.1 幂法 76

3.3 计算矩阵特征问题的幂法 76

3.3.2 反幂法 81

3.4 迭代法的加速 83

3.4.1 基本迭代法的加速 84

3.4.2 Ai tken加速 86

3.5 共轭梯度法 90

3.5.1 最速下降法 91

3.5.2 共轭梯度法（简称CG法） 92

习题3 96

4.1.1 插值问题 102

4.1 引言 102

第4章 插值与逼近 102

4.1.2 插值函数的存在唯一性、插值基函数 103

4.2 多项式插值和Hermite插值 104

4.2.1 Lagrange插值公式 104

4.2.2 Newton插值公式 105

4.2.3 插值余项 107

4.2.4 Hermite插值 108

4.2.5 分段低次插值 111

4.3.1 样条函数 113

4.3 三次样条插值 113

4.3.2 三次样条插值及其收敛性 114

4.4 B—样条函数 119

4.4.1 B—样条函数及其基本性质 119

4.4.2 B—样条函数插值 122

4.5 正交函数族在逼近中的应用 125

4.5.1 正交多项式简介 125

4.5.2 函数的最佳平方逼近 128

4.5.3 数据拟合的最小二乘法 129

习题4 132

第5章 插值函数的应用 134

5.1 基于插值公式的数值微积分 134

5.1.1 数值求积公式及其代数精度 134

5.1.2 复化求积公式 137

5.1.3 数值微分公式 139

5.2 Gauss型求积公式 141

5.2.1 基于Hermite插值的Gauss型求积公式 142

5.2.2 常见的Gauss型求积公式与Gauss型求积公式的数值稳定性 144

5.3.1 逐次分半算法 145

5.3 外推加速原理与Romberg算法 145

5.3.2 外推加速公式与Romberg算法 147

5.4 常微分方程数值解法 150

5.4.1 基于数值积分的解法 150

5.4.2 Runge-Kutta显化求解公式 153

习题5 154

6.2.1 无界函数的数值积分 156

6.2 反常积分的数值方法 156

6.1 引言 156

第6章 数值积分 156

6.2.2 无穷区间上函数的数值积分 159

6.3 振荡函数的数值积分法 161

6.4 二重积分的机械求积法 164

6.5 重积分Monte-Carlo求积法 170

习题6 172

第7章 常微分方程的数值解法 173

7.1 引言 173

7.2.1 基于Taylor展开式的求解公式 174

7.2 基于Taylor展开式的求解公式 174

7.2.2 四阶显式Runge-Kutta法 178

7.3 刚性问题及其求解公式 188

7.3.1 刚性问题 189

7.3.2 隐式Runge-Kutta法 192

7.3.3 线性多步法 195

7.4 边值问题的数值解法 197

7.4.1 打靶法 197

7.4.2 差分法 201

7.5.1 关于暂态计算的方法 204

7.5 暂态历程的精细计算方法 204

7.5.2 齐次方程的精细积分 205

7.5.3 非齐次方程的精细积分 207

7.5.4 数值例题 207

7.5.5 精度分析 209

习题7 210

第8章 小波变换 213

8.1 从Fourier变换到小波变换 213

8.1.1 Fourier变换 213

8.1.2 窗口Fourier变换 215

8.1.3 小波变换 216

8.2 多分辨率分析与正交小波基的构造 218

8.3 Mallat算法 221

习题8 223

第9章 矩阵特征对的数值解法 224

9.1 求特征方程根的方法 224

9.1.1 A为Jacobi矩阵 224

9.1.2 A为对称矩阵 228

9.2 分二治之法 231

9.2.1 矩阵的分块 232

9.2.2 分二治之计算 235

9.3 QR法 238

9.3.1 QR迭代的基本方法 238

9.3.2 Hessenberg矩阵的QR法 239

9.3.3 带有原点位移的QR法 242

9.3.4 对称QR法 245

9.4 Lanczos算法 246

9.4.1 Lanczos迭代 247

9.4.2 Lanczos迭代的收敛性讨论 249

习题9 253

1．矩阵序列 256

附录1 矩阵分析介绍 256

一、矩阵序列与矩阵级数 256

2．矩阵级数 258

二、矩阵幂级数 261

三、矩阵的微积分 267

1．相对于数量变量的微分和积分 267

2．相对于矩阵变量的微分 268

3．矩阵微积分在微分方程中的应用 269

习题 272

1．关于数值问题的性态 274

附录2 有关计算理论简介 274

一、关于误差分析 274

2．关于算法的稳定性 279

二、关于计算复杂性 280

1．简述“问题复杂度” 280

2．算法的有效性 282

附录3 数值实验 285

符号说明 294

参考文献 296