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第1章 函数 1

1.1谈谈“定义域优先” 1

1.2判断两个增函数（减函数）图像的公共点个数时要慎重 2

1.3关于互为反函数的两个函数图像公共点的结论及其应用 5

1.4勘根定理和介值定理的有趣应用 7

1.5轴对称、中心对称及周期性的关系 9

1.6当k（k≠0），b变化时，曲线y=loga（kx＋b）的形状均相同 10

习题 11

第2章 数列 14

2.1求数列通项的一种简洁方法——构造常数列 14

2.2一类数列的性质及其应用 18

2.3用裂项法和待定系数法求Sn是通法 21

2.4应注意由递推式确定的数列可以是有穷数列 25

2.5 2013年哈佛-麻省理工数学竞赛代数测试题第3题与2003年中国普通高考理科压轴题如出一辙 26

2.6简解一道课本题 29

2.7等差数列各项绝对值的前n项和 30

2.8你熟悉公式an=amqn-m（n≥m）吗 32

2.9改错位相减法为分组求和法 33

2.10例谈用验证法求数列通项 34

习题 37

第3章 三角函数 43

3.1关于辅助角公式的一个定理及其应用 43

3.2类正弦定理猜想 49

3.3有理数角度的三角函数值何时是有理数 52

3.4用课本结论简解五道三角形的高考题 53

3.5这两道高考三角形大题的解答均欠严谨 56

习题 60

第4章 平面向量 61

4.1一类三角形的面积比问题 61

4.2介绍物理学中的拉米定理在平面向量中的应用 62

4.3用一个向量等式妙解两道高考题 65

习题 66

第5章 不等式 67

5.1用数学归纳法证明均值不等式和柯西不等式 67

5.2用“穿针引线”法解一般不等式 69

5.2.1用“穿针引线”法解一元高次不等式 69

5.2.2一般方程的重根的定义 69

5.2.3用函数极值的定义简洁解题 70

5.2.4解不等式的一种新方法——列表法 71

5.2.5用“穿针引线”法解一元高次不等式的理由 72

5.2.6用“穿针引线”法解一般不等式 72

5.3谈一道期末练习题的解法及推广 73

5.4关于n∑i=m iα的一类不等式 74

5.5用“线性规划问题的最优解在边界上”简解高考题 76

5.6两类新型的“线性规划”问题 79

习题 84

第6章 平面解析几何 85

6.1椭圆参数方程有“误区”，三角函数定义很简洁 85

6.2用直接解一元二次方程来证圆锥曲线的焦点弦性质 88

6.3是代入直线方程，还是代入抛物线方程 90

6.4定椭圆的平行弦中的最长者过该椭圆的中心 94

6.5椭圆内接平行四边形、矩形、菱形的周长及面积的取值范围 95

6.5.1引理 95

6.5.2椭圆内接平行四边形、矩形、菱形的周长及面积的取值范围 95

6.6介绍椭圆的几条性质 99

6.7圆锥曲线的一条性质及其简证 100

6.8过定点的动直线的参数方程及其在焦半径问题中的应用 103

6.8.1过定点的动直线的参数方程及参数的几何意义 103

6.8.2关于圆锥曲线的焦半径的几个结论 104

6.9研究一道直线与圆的高考题 110

6.10一般式方程下两直线位置关系的判断条件 111

6.11伸缩变换的性质及其应用 113

习题 116

第7章 立体几何 124

7.1底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等 124

7.2例谈构造平行六面体解立体几何题 125

7.3例谈建立空间直角坐标系解立体几何题 130

7.4用升维法解三道数学趣题 136

7.5用余弦定理简证直线和平面垂直的判定定理 137

习题 138

第8章 导数 144

8.1纠正关于e的一种流行错误 144

8.2简解两道高考题 146

8.3巧思妙解两道题 147

8.4三次函数图像的对称中心的一条性质 149

8.5用函数的隐零点解题 150

8.6简解一类“恒成立”高考题 155

8.7用“函数在区间上的最大（小）值点若不是区间端点就是极大（小）值点”解题 158

8.8对2013年高考陕西卷压轴题的研究 160

8.9例谈用求导法解一类求参数取值范围的高考题 162

8.10按计算器按出的极限问题 164

8.11研究2014年高考天津卷理科压轴题 166

习题 171

第9章 排列、组合与二项式定理 174

9.1排列组合问题的基本题型及其解法 174

9.1.1特殊元素和特殊位置优先策略 174

9.1.2相邻元素捆绑策略 174

9.1.3不相邻问题插空策略 175

9.1.4定序问题消序处理，也可转化为占位插空模型来处理 175

9.1.5多排问题直排策略 176

9.1.6排列组合混合问题先选后排策略 176

9.1.7相同元素问题隔板策略 176

9.1.8平均分组问题除法策略 177

9.1.9合理分类与分步策略 177

9.1.10构造模型策略 178

9.1.11配对问题 179

9.1.12分解与合成策略 179

9.1.13化归策略 180

9.2由上楼梯问题得到的Fibonacci数列与组合数的联系 180

习题 182

第10章 概率统计 185

10.1应重视用枚举法解题 185

10.2编拟、解答概率题时均要注意基本事件是等可能事件 188

习题 193

第11章 高考研究 197

2014高考多经典 197

2014年高考的高频考点——三次函数 205

2014年高考的高频考点——错位相减法 212

数列求和的七种基本方法 218

数列通项公式的求法 225

用分离常数法解2014年高考题 232

用分离常数法求解2014年高考四川卷压轴题 242

2014年高考福建卷第22题的背景及简解 245

推广2014年高考湖北卷文科压轴题的结论 247

比较ab＋a与ba＋a＋a的大小 249

求1n2的近似值——兼谈两道高考题的解法 251

谈谈三次曲线的切线问题 254

各种各样的曲线相切 261

你熟悉导数公式（|x|）’=x/|x|=|x|/x吗 266

尴尬的循环论证——从2014年高考北京卷理科第18题谈起 268

谈谈二次曲线上的四点共圆问题 271

推广2014年高考山东卷文科压轴题的结论 275

双曲线x2/a2-y2/3a2=1，x2/3b2-y2/b2=1的性质 276

由2014年高考广东卷解析几何大题得到的关于圆锥曲线的两类经典轨迹问题 281

简介数学黑洞问题 284

商榷2014年高考题中表述欠严谨的11道题 287

对于数列问题应强调在实数范围内求解 292

谈4道高考题的题源 293

介绍26道日本高考数学题 300

2014年高考亮题新解 312

习题参考答案 364