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第1章 MATLAB编程基础 1

1.1 矩阵的基本操作与基本运算 1

1.1.1 矩阵的基本操作 1

1.1.2 矩阵的基本运算 2

1.1.3 ＊与．＊和与．／的区别 3

1.1.4 使用find函数索引符合某些特定条件的矩阵元素 3

1.1.5 eps函数与避免除以0的方法 4

1.2 MATLAB的数据结构 4

1.3 变量、脚本与函数 8

1.3.1 变量 8

1.3.2 全局变量使用例子 9

1.3.3 局部变量不会被替代的例子 10

1.3.4 函数与脚本 10

1.3.5 函数的构成 11

1.3.6 函数的类型 12

1.3.7 函数调用与函数句柄 14

1.3.8 可变参数函数调用 14

1.4 MATLAB技巧 15

1.4.1 MATLAB的函数重载 15

1.4.2 冒号（：）操作符 17

1.4.3 Tab键自动补全 17

1.4.4 上下箭头回调 17

1.4.5 可变参数个数的函数的占位符 17

1.4.6 whos查看 18

1.4.7 whos通配符的例子 18

1.4.8 程序调试 18

1.5 MATLAB工具箱函数ode23剖析 18

1.6 MATLAB的帮助文档导航 22

1.7 MATLAB常见错误 23

1.7.1 常见写法错误 23

1.7.2 字符串连接出错 24

1.7.3 矩阵维数不同的例子 25

1.7.4 赋值出错 26

第2章 数值分析的基本概念 27

2.1 数值分析的研究对象 27

2.2 误差与有效数字 30

2.2.1 误差的产生及分类 30

2.2.2 误差的相关概念 30

2.3 近似计算中的注意事项 31

2.4 数值算法的稳定性 34

2.5 机器精度 35

第3章 数据插值 37

3.1 插值与多项式插值 37

3.2 Lagrange插值 37

3.2.1 Lagrange插值的定义 37

3.2.2 Lagrange插值的MATLAB实现 38

3.3 Newton插值 40

3.3.1 Newton插值定义 40

3.3.2 有限差商 40

3.3.3 Newton插值的MATLAB实现 41

3.4 Hermite插值 42

3.4.1 Hermite插值定义 42

3.4.2 Hermite插值的MATLAB实现 43

3.5 分段低次插值 45

3.5.1 高次插值的Runge现象 45

3.5.2 分段低次Lagrange插值 45

3.5.3 interpl函数 46

3.6 三次样条插值 47

3.6.1 三次样条插值 47

3.6.2 三次样条函数 48

第4章 数据拟合 50

4.1 数据的曲线拟合 50

4.1.1 曲线拟合的误差 50

4.1.2 曲线拟合的最小二乘法 51

4.2 多项式拟合 52

4.2.1 多项式曲线拟合 52

4.2.2 多项式曲线拟合的MATLAB实现 52

4.2.3 MATLAB多项式曲线拟合应用的扩展 54

4.3 圆拟合的例子讲解 57

4.3.1 圆拟合问题描述（使用最小二乘方法） 57

4.3.2 圆拟合的MATLAB实现 58

4.4 cftool自定义拟合 60

4.5 cftool代码自动生成与修改 62

第5章 数值积分 66

5.1 数值积分的基本思想 66

5.1.1 数值求积的基本思想 66

5.1.2 几种常见的数值积分公式 66

5.2 数值求积公式的构造 67

5.2.1 代数精度 68

5.2.2 插值型求积公式 68

5.2.3 Newton-Cotes求积公式 69

5.3 复化积分公式 70

5.3.1 复化Simpson公式 70

5.3.2 复化求积公式及其MATLAB实现 70

5.3.3 MATLAB的trapz函数 72

5.4 Romberg求积公式 73

5.4.1 数值积分公式误差分析 73

5.4.2 Romberg算法 74

5.4.3 Romberg求积公式的MATLAB实现 76

5.5 Gauss求积公式 77

5.5.1 Gauss积分公式 77

5.5.2 Gauss-Legendre求积公式的MATLAB实现及应用实例 78

5.6 积分的运算选讲 79

5.6.1 二重积分 79

5.6.2 三重积分 79

5.6.3 变上限积分 79

5.6.4 符号积分 81

5.6.5 MATLAB常见积分函数列表 82

第6章 常微分方程 83

6.1 常微分方程分类及其表示形式 83

6.1.1 MATLAB关于ODE的函数帮助简介 83

6.1.2 MATLAB ODE suite中关于ODE的分类 83

6.2 典型常微分方程举例 84

6.2.1 一阶常微分方程 84

6.2.2 二阶常微分方程 84

6.2.3 高阶常微分方程 85

6.2.4 边值问题 85

6.2.5 延迟微分方程 85

6.3 解的存在性、唯一性和适定性 86

6.3.1 初值问题的存在性与唯一性 86

6.3.2 MATLAB中常微分方程的通用形式及其向量表示 87

6.3.3 刚性常微分方程 87

6.4 常微分方程的时域频域表示以及状态方程表示 89

6.4.1 时域与频域表示形式 89

6.4.2 状态空间表示形式 90

6.5 单步多步和显式隐式概念 91

6.6 常微分方程数值求解方法构造思想举例 92

6.7 常微分方程数值解的基本原理 93

6.7.1 一阶常微分方程与一阶微分方程组 93

6.7.2 求解区间［a,b］的离散 93

6.7.3 微分方程的离散 93

6.7.4 Taylor展开法 94

6.7.5 常微分方程数值求解的欧拉方法 97

6.7.6 欧拉方法的MATLAB实现 97

6.7.7 改进的欧拉方法 98

6.7.8 改进的欧拉方法的MATLAB实现 99

6.7.9 四阶龙格-库塔公式的MATLAB实现 99

6.7.10 Adams预测-校正公式 100

6.8 常微分方程工具箱 102

6.8.1 总体介绍 102

6.8.2 各个求解器的特点与比较 103

6.8.3 使用odefile.m模板求解常微分方程 103

6.8.4 odefile.m模板使用 105

6.9 单自由度振动系统例子 106

6.9.1 单自由度二阶系统基于传递函数与状态空间的simulink模型求解 106

6.9.2 总结 110

6.10 三自由度振动系统例子 110

6.10.1 三自由度振动系统simulink模型求解以及状态方程的ode45求解器求解 110

6.10.2 总结 114

第7章 线性方程组的迭代解法 115

7.1 线性方程组的迭代法概述 115

7.1.1 迭代法概述及压缩原理 115

7.1.2 迭代法基本概念 115

7.1.3 MATLAB的相关命令 117

7.2 常见的线性方程组的迭代法 118

7.2.1 Jacobi迭代法 118

7.2.2 Gauss-Seidel迭代法 120

7.2.3 SOR迭代法 123

7.3 迭代法的收敛性 125

7.3.1 迭代法的收敛性定理 125

7.3.2 主对角优势 125

7.3.3 SOR迭代法的收敛性 126

第7章 线性方程组的直接解法 127

8.1 线性方程组的消元法 127

8.1.1 线性方程组的直接求解方法 127

8.1.2 Gauss消去法 127

8.1.3 Gauss主元素法 130

8.1.4 Jordan消去法 133

8.2 矩阵的三角分解 135

8.2.1 LU分解 136

8.2.2 LU分解的MATLAB实现 136

8.2.3 对称正定矩阵的Cholesky分解 138

8.2.4 Cholesky分解法的MATLAB实现 139

8.2.5 改进平方根法 141

8.2.6 改进平方根法的MATLAB实现 142

8.3 MATLAB的相关命令 144

8.3.1 逆矩阵 144

8.3.2 矩阵的左除及最小二乘解 145

8.3.3 欠定方程的解 145

第9章 非线性方程求解 147

9.1 求解非线性方程的MATLAB符号法 147

9.2 二分法 149

9.2.1 二分法原理 149

9.2.2 二分法的MATLAB程序 149

9.3 迭代法 151

9.3.1 迭代法原理 151

9.3.2 迭代法的几何意义 151

9.3.3 迭代法的MATLAB程序 152

9.4 切线法 153

9.4.1 切线法的几何意义 154

9.4.2 切线法的收敛性 154

9.5 割线法（弦截法） 155

9.5.1 割线法的几何意义 155

9.5.2 割线法的MATLAB程序 155

9.6 常见非线性方程数值方法的优缺点 156

9.7 方程f(x)=0数值解的MATLAB实现 157

9.7.1 求函数零点指令fzero 157

9.7.2 fzero的使用举例 157

9.8 求解非线性方程组MATLAB命令 160

9.8.1 符号方程组求解 160

9.8.2 求解非线性方程组的基本方法 161

9.8.3 求方程组的数值解 162

第10章 偏微分方程数值解 166

10.1 基本概念 166

10.2 有限差分法 167

10.2.1 椭圆方程的差分形式 167

10.2.2 抛物方程的差分形式 168

10.2.3 双曲方程的差分形式 170

10.3 MATLAB的pdepe函数 171

10.3.1 pdepe函数的说明 171

10.3.2 pdepe函数的实例 172

10.4 MATLAB的PDEtool工具箱 173

10.4.1 PDEtool的界面 174

10.4.2 PDEtool的使用 174

第11章 数值优化 177

11.1 单变量函数优化 177

11.1.1 基本数学原理 177

11.1.2 黄金分割法 178

11.1.3 牛顿法 181

11.1.4 最速下降法 185

11.1.5 共轭梯度法 188

11.2 多变量函数优化 191

11.2.1 Nelder-mead方法 191

11.2.2 Nelder-mead方法的MATLAB实现 192

11.2.3 Powell方法 193

11.2.4 Powell方法的MATLAB实现 194

11.3 MATLAB最优化函数 197

11.3.1 MATLAB最优化工具箱介绍 197

11.3.2 MATLAB最优化函数介绍 198

11.3.3 MATLAB最优化工具介绍 201

11.3.4 MATLAB最优化函数应用实例 204

第12章 特征值和特征向量 208

12.1 特征值与特征向量 208

12.1.1 特征值与特征向量的定义 208

12.1.2 特征值与特征向量的计算 208

12.1.3 MATLAB的eig命令 209

12.2 幂法与反幂法 209

12.2.1 幂法的原理 210

12.2.2 幂法的MATLAB实现 210

12.2.3 反幂法 212

12.2.4 反幂法的MATLAB实现 213

12.3 对称矩阵的特征值——Jacobi方法 214

12.3.1 Jacobi方法的原理 214

12.3.2 Jacobi方法的MATLAB实现 215

12.4 Householder方法 217

12.4.1 初等反射矩阵 218

12.4.2 用正交相似变换约化矩阵 218

12.4.3 算法的MATLAB实现 220

12.5 QR分解与QR方法 221

12.5.1 矩阵的QR分解 221

12.5.2 计算矩阵特征值的QR方法 222

12.5.3 QR方法的MATLAB实现 222

参考文献 224