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第一章 常微分方程式 1

1.1 微分方程式之重要性 1

1.2 基本术语 2

1.3 一阶方程式 5

1.4 变数可予分开之方程式 9

1.5 恰当方程式 15

1.6 积分因子 20

1.7 一阶线性方程式 24

1.8 一阶线性方程式之应用 25

1.9 复数 33

1.10 复数值函数 35

1.11 常系数二阶线性方程式（齐次情形） 38

1.12 常系数二阶线性方程式（非齐次情形） 45

1.13 参数变值法 51

1.14 常系数二阶线性方程式之应用 53

1.15 常系数高阶线性方程式 66

1.16 线性空间与线性运算子 72

1.17 一般线性方程式 75

1.18 非线性微分方程式 77

第二章 无穷级数 80

2.1 导言 80

2.2 数列：收歛与发散 81

2.3 界限数列，单调数列 83

2.4 无穷级数 87

2.5 几何级数 89

2.6 第n项试验 90

2.7 对级数之一般注释 92

2.8 积分试验 94

2.9 比较试验 97

2.10 绝对收歛与条件收歛：交错级数 99

2.11 比率试验 104

2.12 根值试验 106

2.13 计算总和时之概估误差 108

2.14 函数之数列与级数 110

2.15 均匀收歛 116

2.16 幂级数之特性 121

2.17 幂级数更多之运算 123

2.18 具有余数之Taylor公式 126

2.19 具有数个变数之函数所采用之幂级数与Taylor公式 128

2.20 复项级数 131

2.21 幂级数对积分，及其他问题之应用 136

2.22 微分方程式之幂级数解 139

2.23 奇异点处之线性微分方程式解 144

第三章 Fourier级数 154

3.1 导言 154

3.2 三角级数与Fourier级数 156

3.3 Fourier级数之收歛 164

3.4 Fourier余弦级数，Fourier正弦级数 171

3.5 周期之改变 175

3.6 均值收歛，Bessel不等式，Parseval关系 179

3.7 Fourier级数之复形式 183

3.8 Fourier函数对频率反应之应用 185

3.9 正交函数 193

3.10 内积与范数 197

3.11 Gram-Schmidt处理过程 199

3.12 Legendre多项式 202

3.13 其他正交系统 208

3.14 Sturm-Liouville问题 210

3.15 高维中之正交系统 213

4.1 导言 217

第四章 运算微积分 217

4.2 Laplace变换式 218

4.3 Laplace变换式之特性 220

4.4 例题 223

4.5 Laplace变换更广阔之定义：复数观点 229

4.6 部分分式 232

4.7 Laplace反变换式 235

4.8 褶积 239

4.9 广义函数 242

4.10 广义函数之Laplace变换 246

4.11 Laplace变换式在线性微分方程式中之应用 250

4.12 广义函数之Laplace变换式在线性微分方程式中之应用 255

4.13 Fourier变换式 261

4.14 Fourier变换式之特性 265

4.15 Fourier变换式之理论 269

4.16 Fourier反变换式 273

4.17 Fourier变换与Laplace变换之关系 276

4.18 褶积 278

4.19 广义函数之Fourier变换式 280

4.20 Fourier变换式在线性方程式中之应用 283

4.21 广义函数之Fourier变换式在线性微分方程式中之应用 291

4.22 Parseval定理与能量谱 294

第五章 矩阵与线性代数 298

5.1 导言 298

5.2 行列式 301

5.3 矩阵 303

5.4 矩阵加法，纯量乘矩阵 305

5.5 矩阵乘法 308

5.6 方矩阵之反式 316

5.7 方矩阵之特徵值 324

5.8 n维空间Rn中之向量 332

5.10 自Rn至Rm之线性映像 332

5.9 线性独立 334

5.11 矩阵或线性映像之秩 341

5.12 线性方程式系统之理论 342

5.13 线性方程式系统之技巧 360

5.14 求方矩阵方程式之反式 364

5.15 转置 366

5.16 正交矩阵 369

5.17 一般向量空间 376

5.18 线性映像 381

第六章 常微分方程式 389

6.1 一般概念 389

6.2 线性系统：一般理论 393

6.3 常系数齐次线性系 400

6.4 常系数非齐次线性系 404

7.6 摆型方程式 407

6.5 对电路网之应用 408

6.6 Laplace变换式之应用 412

6.7 变数更换法 417

6.8 振动之正规方式 420

6.9 推广 424

6.10 对电路网作更多之应用 427

6.11 稳定、转移矩阵、与频率反应矩阵 434

6.12 谐振 439

第七章 非线性微分方程式 443

7.1 相位平面 443

7.2 守恒系统 450

7.3 平衡点附近各轨线之结构 456

7.4 周期性解；极限周；稳定性 465

7.5 van der Pol方程式 468

7.7 竞争总体，Volterra模式 475

7.8 非线性系统强迫振荡 478

7.9 非连续性系统 482

第八章 偏微分方程式之介绍 487

8.1 物理学中偏微分方程式之起源 487

8.2 一般概念与典型问题 490

8.3 分离变数法：一维波动方程式 494

8.4 波动方程式之解；行进波与定波 501

8.5 波动方程式之其他边界条件 505

8.6 一维热量方程式 510

8.7 热量方程式之其他问题 513

8.8 矩形Laplace方程式 518

8.9 圆形区域之Dirichlet问题 523

8.10 Poisson积分公式 525

8.11 其他区域之Dirichlet问题 526

8.12 Laplace与Fourier变换式之应用 527

8.13 高维问题 532

附录 542