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目录 1

第一章 矩阵与向量 1

1.矩阵的定义及其线性运算 1

2.矩阵的乘法 4

3.矩阵乘法的几种算法 9

算法1-1 二维数组存贮的实矩阵乘法 9

算法1-2 一维数组存贮的实矩阵乘法 10

算法1-3 同时计算行元素的实矩阵乘法 11

4.向量及其线性运算 12

5.向量的内积 15

算法1-4 防止上溢与下溢的向量模长算法 19

6.矩阵的分块运算 20

第二章 向量组的秩与线性方程组的解 25

1.向量的线性相关 25

2.极大无关组与向量组的秩 31

3.线性方程组解的存在性与唯一性 33

4.矩阵的初等变换与初等矩阵 35

5.n维向量空间 39

第三章 方阵的行列式与逆 46

1.n阶行列式的定义 46

2.n阶行列式的性质 49

3.行列式按一列（行）展开与Cramer法则 53

4.Laplace定理与行列式的乘法定理 58

5.矩阵的秩 61

6.方阵的逆与正交矩阵 64

7.线性方程组解的结构 68

第四章 解n阶线性方程组的消去法 74

1.Gauss顺序消去法 75

算法4-1 Gauss顺序消去法解线性方程组系 81

2.Gauss主元素消去法 82

算法4-2 列主元Gauss消去法解线性方程组系 85

算法4-3 全主元Gauss消去法解线性方程组系 87

3.列主元Gauss-Jordan消去法 89

算法4-4 列主元Gauss-Jordan消去法解线性方程组系（兼求系数矩阵的行列式值） 90

4.行主元Gauss-Jordan逐行消去法 91

算法4-5 行主元Gauss-Jordan逐行消去法求解高阶线性方程组 96

第五章 实对称矩阵与矩阵的相似 99

1.二次型与实对称矩阵 99

2.矩阵的相似与特征值、特征向量 102

3.规范矩阵与酉相似 112

4.对称正定矩阵 118

第六章 矩阵分解法求解线性方程组 124

1.方阵的LU分解 124

2.Doolittle分解 126

算法6-1 Doolittle（LU）分解求解线性方程组系 130

3.LDLT分解 131

1.Jacobi方法求实对称矩阵的特征根与特征向量 131

算法6-2 二维存贮的LDLT分解法求解对称线性方程组系 133

4.平方根法 135

算法6-3 一维存贮的平方根法求解对称线性方程组系（兼求对称系数矩阵的行列式的值） 142

5.行主元LU分解法 144

算法6-4 行主元LU分解法求解线性方程组系 150

6.Householder变换与QR分解 152

算法6-5 QR分解法求解线性方程组系 158

第七章 行列式求值与方阵求逆 160

1.全主元Gauss消去法求实矩阵的行列式值 160

算法7-1 全主元Gauss消去法求实矩阵的行列式值 161

2.行主元Gauss-Jordan消去法求逆阵 163

算法7-2 行主元Gauss-Jordan消去法求逆阵（兼求行列式的值） 165

3.全主元Gauss-Jordan消去法求逆阵 166

算法7-3 全主元Gauss-Jordan消去法求逆阵（兼求行列式的值） 168

4.对称正定矩阵求逆阵 170

算法7-4 二维存贮的对称正定矩阵求逆阵 175

算法7-5 一维存贮的对称正定矩阵求逆阵 175

5.求极大无关组并扩充为基底 176

算法7-6 求极大无关组并扩充为基底 179

第八章 特征根与特征向量的计算 181

算法8-1 Jacobi方法求实对称矩阵的特征根与特征向量 189

2.Householder相似变换化一般实矩阵为上Hessenberg矩阵 191

算法8-2 用Householder相似变换化一般实矩阵为上Hessenberg阵 193

算法8-3 求（算法8-2中）把一般实矩阵化为上Hessenberg阵时的变换矩阵 196

3.求实数上Hessenberg矩阵的特征根的双步QR算法 197

算法8-4 双步QR算法求实上Hessenberg阵的特征根 210

4.求实矩阵的特征根与特征向量 213

算法8-5 双步QR算法求实上Hessenberg阵的特征根与特征向量 222

第九章 矩阵的广义逆与最小二乘问题 227

1.矩阵的广义逆 227

2.广义逆在解线性方程组（系）上的应用 232

3.广义逆在线性最小二乘问题上的应用 234

4.用广义QR分解法求广义逆 238

算法9-1 广义QR分解求广义逆或求线性最小二乘解 249

5.广义逆法解非线性最小二乘问题 252

算法9-2 广义逆法求解非线性最小二乘问题 258

习题参考答案 262

附录 FORTRAN-77源程序部分 266

第一章 矩阵与向量 266

算法1-2 一维数组存贮的实矩阵乘法 269

算法1-1 二维数组存贮的实矩阵乘法 269

算法1-3 同时计算行元素的实矩阵乘法 269

附录 FORTRAN-77源程序部分 269

算法1-4 防止上溢与下溢的向量模长算法 272

第四章 解n阶线性方程组的消去法 274

算法4-1 Gauss顺序消去法解线性方程组系 274

算法4-2 列主元Gauss消去法解线性方程组系 276

算法4-3 全主元Gauss消去法解线性方程组系 278

算法4-4 列主元Gauss-Jordan消去法解线性方程组系（兼求系数矩阵的行列式值） 281

算法4-5 行主元Gauss-Jordan逐行消去法求解高阶线性方程组 283

第六章 矩阵分解法求解线性方程组 286

算法6-1 Doolittle（LU）分解求解线性方程组系 286

算法6-2 二维存贮的LDLT分解法求解对称线性方程组系 288

算法6-3 一维存贮的平方根法求解对称线性方程组系（兼求对称系数矩阵的行列式的值） 290

算法6-4 行主元LU分解法求解线性方程组系 294

算法6-5 QR分解法求解线性方程组系 297

算法7-1 全主元Gauss消去法求实矩阵的行列式值 299

第七章 行列式求值与方阵求逆 299

算法7-2 行主元Gauss-Jordan消去法求逆阵（兼求行列式的值） 300

算法7-3 全主元Gauss-Jordan消去法求逆阵（兼求行列式的值） 303

算法7-4 二维存贮的对称正定矩阵求逆阵 306

算法7-5 一维存贮的对称正定矩阵求逆阵 307

算法7-6 求极大无关组并扩充为基底 308

第八章 特征根与特征向量的计算 311

算法8-1 Jacobi方法求实对称矩阵的特征根与特征向量 311

算法3-2 Househo1der相似变换化一般实矩阵为上Hessenberg阵 314

算法8-3 求（算法8-2中）把一般实矩阵化为上Hessenberg阵时的变换矩阵 315

算法8-4 双步QR算法求实上Hessenberg阵的特征根 317

算法8-5 双步QR算法求实上Hessenberg阵的特征根和特征向量 322

第九章 矩阵的广义逆与最小二乘问题 332

算法9-1 广义QR分解求广义逆或求线性最小二乘解 332

算法9-2 广义逆法求解非线性最小二乘问题 335

参考文献 341