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目录 1

第五章变分法 1

§1 变分法的基本概念 1

1.1泛函定义及举例 1

1.2变分问题举例 3

1.3泛函的绝对极值、相对极值 5

§5 受有约束的变分问题 6

习 题 1 6

§2 最简单的变分问题 7

2.1欧拉方程的推导 7

2.2从欧拉方程求变分问题的驻值线（方法与举例） 10

2.3活动端点的变分问题 15

习 题 2 17

附录泛函J〔y(x)〕的极值判别方法 19

习 题 22

§3 泛函的变分概念 23

3.1多元函数的一次微分、二次微分 23

3.2泛函的一次变分δJ 24

3.3二次变分的定义 29

3.4泛函的一次、二次变分同改变量△J间的关系 30

3.5泛函的导数同变分间的关系 32

3.6函数的微分与泛函的变分的比较 33

3.7泛函的极值定理 34

3.8变分运算规则 36

3.9例题 37

习题 3 40

§4 其它类型的变分问题 41

4.1 F〔x,y,y′,y″,…,y〔n〕〕类型的变分问题 41

4.2 F（x，y1，y2,…，y?;y?,y′2,…,y′n）类型的变分问题 43

4.3依？于二元函数z（x，y）的泛函 47

4.4依？于二元函数z（x,y）的泛函的积分式中合有二阶偏导数的情况 51

习 题 4 52

附录Dirich Let原理 53

5.1受有函数形式的约束的变分问题 57

5.2受有积分形式的约束的变分问题 66

习题 5 70

§6 常微分方程的固有值问题，它同变分问题的关系 74

6.1什么是常微分方程的固有值问题 74

6.2固有函数的一些性质 75

6.3常微分方程的固有值问题同变分问题间的关系 80

§7 哈密尔顿（HamiLton）原理及其应用 82

7.1哈密尔顿原理叙述（直角坐标系） 82

7.2广义坐标系下的哈密尔顿原理 85

7.3哈密尔顿原理应用举例 87

7.4哈密尔顿原理的应用（续） 89

习题7 92

1.2矢量的加、减法 95

第六章矢量与场论 96

§1 矢量代数简介 96

1.1矢量与数量 96

1.3矢量的坐标表示 97

1.4矢量的乘法——数积、矢积、混合积 98

1.5应用举例 100

习题 1 102

§2 矢量分析 103

2.1矢量函数 103

2.2矢量函数的极限 104

2.4矢量函数的导数 105

2.3矢量函数的连续 105

2.5矢量函数的微分 108

2.6求导公式及举例 108

2.7矢量函数的积分 111

2.8应用——力学问题 113

习题 2 116

§3 场 118

3.1数量场与矢量场 118

3.2点函数 118

3.3数量场的等值面与矢量场的等量线 119

习题 3 121

§4 数量场的梯度 121

4.1方向导数 121

4.2数量场的梯度 123

4.3梯度的性质 125

4.4应用举例 126

习题 4 127

§5 矢量场的散度 128

5.1矢量场的通量 128

5.2矢量场的散度 130

5.3散度的计算 132

5.4散度的性质及计算举例 134

5.5高斯（Gau ss）公式及其应用 135

习题 5 140

§6 矢量场的旋度 141

6.1矢量场的环量 141

6.2矢量场的旋度 144

6.3旋度的计算 146

6.4旋度的性质及举例 148

6.5斯托克斯（Stokes）公式及格林（Green）公式 150

习题 6 153

§7 关于算符？及△ 154

7.1算符与公式 154

7.2举例 157

习题 7 158

§8 几种常用的场 159

8.1有势场 159

8.2管形场 161

8.3调和场与调和函数 163

习题 8 164

§9 曲线坐标及曲线坐标下的？u、 165

？·？、？×？、△u 165

9.1曲线坐标 165

9.2正交曲线坐标 167

9.3正交曲线坐标下的？u 169

9.4正交曲线坐标系下的？·？与 ？×？ 171

9.5正交曲线坐标系下的△u 174

9.6柱面坐标与球面坐标下的？u、？·？、？×？、△u及其它有关量 175

习题 9 176

§10*应用问题举例 177

10.1电磁场方面的应用——麦克斯韦方程组 177

10.2流体力学方面的应用——连续性方程 181

10.3热传导方面的应用——热传导方程 182

习题10 184

第七章数值计算方法 185

§1 误差 185

§2线性方程组 188

2.1引言 188

2.2高斯消去法 188

2.3无回代主元素法（约当法） 190

2.4行列式、逆矩阵 193

2.5消去法的误差 195

2.6简单迭代法（雅可比迭代法） 198

2.7松弛迭代法·赛德尔迭代法 202

2.8对称方程组的平方根法 204

2.9三对角方程组的追赶法 206

§3 一元非线性方程式 209

3.1求实根的区间二分法 209

3.2弦位法 210

3.3牛顿法 211

3.4抛物线法 212

§4 矩阵的特征值、特征向量 214

4.1特征值问题 214

4.2求绝对值最大的特征值及其对应的特征向量的乘幂法及反乘幂法 215

4.3实对称矩阵的雅可比方法 219

4.4 求矩阵全部特征值的QR方法 223

§5 数值逼近 238

5.1拉格朗日插值公式 238

5.2牛顿插值公式·差商 241

5.3等距插值点的插值公式·差分 244

5.4样条函数插值法 248

5.5曲线的拟合·最小二乘法 251

§8 数值微分和数值积分 255

6.1数值微分 255

6.2数值微分的误差 259

6.3牛顿－柯特斯数值积分公式 259

6.4复化求积公式 262

6.5样条函数数值积分法 264

7.1折线法与改进折线法 265

§7 常微分方程初值问题 265

7.2龙格－库塔法 267

7.3一阶微分方程组初值问题 269

§8 常微分方程边值问题 270

8.1边值问题的一般概念 270

8.2差分方法及差分方程的追赶法 271

8.3样条函数方法 274

§9拉普拉斯方程 277

9.1拉普拉斯方程的差分方程 277

9.2差分方程解的存在、唯一性 282

9.3差分方程的迭代解法 283

9.4一般二阶椭圆型方程的差分解法 286

§10热传导方程 287

10.1热传导方程的显式差分方程 287

10.2隐式差分方程及其追赶解法 289

10.3差分方程的收敛性及稳定性 290

10.4第三边值问题的差分方程 295

§11波动方程 296

11.1初值问题的差分方程 296

11.2混合问题的差分方程 297

11.3差分方程的收敛性及稳定性 300

第八章概率论 302

§1事件与概率 302

1.1样本空间 302

1.2事件 303

1.3事件的运算 304

1.4频率 305

1.5概率的定义 307

1.6古典型的概率计算 310

1.7条件概率 315

1.8事件的独立性 318

习题 1 322

§2 随机变量 327

2.1随机变量 327

2.2分布函数 330

2.3离散型随机变量 331

2.4连续型随机变量 334

2.5随机向量 336

2.6随机变量的独立性 341

习题 2 345

§3 数字特征 350

3.1数学期望 350

3.2方差 358

3.3车贝晓夫不等式 362

3.4相关系数 363

3.5矩 366

3.6中数 368

习题 3 370

§4 常用离散型概率分布 374

4.1 0-1分布 374

4.2均匀分布 375

4.3二项分布 375

4.4超几何分布 380

4.5普阿松分布 382

4.6几何分布 385

4.7巴斯卡分布 387

4.8多项分布 388

习题 4 390

§5 常用连续型概率分布 392

5.1均匀分布 392

5.2正态分布 393

5.3指数分布 399

5.4 Г-分布 400

5.5 B-分布 401

5.6韦布分布 401

5.7拉普拉斯分布 402

5.8多元正态分布 403

习 题 5 406

§6 随机变量的函数 409

6.1随机变量的函数分布 409

6.2随机向量的函数的分布 413

6.3顺序统计量的分布 416

6.4随机向量的变换 418

6.5 X2-分布 421

6.6 t-分布 424

6.7 F-分布 425

习 题 6 427

§7 极限定理 430

7.1大数定律 430

7.2车贝晓夫大数定律 431

7.3 贝努里大数定律 434

7.4 中心极限定理 435

7.5林德伯格－勒维定理 435

7.6德莫佛－拉普拉斯定理 437

7.7格德伯格定理 440

习 题 7 441

附录一常用分布表 444

附录二二项分布？pk（n,p）的数值表 447

附录三普阿松分布 ？pk（λ）的数值表 448

附录四正态分布数值表 450