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第一部分 代 数 1

一实数 1

一实数的系统 1

1．按定义分类 1

2．按大小分类 1

二有理数 1

1．自然数 1

目录 1

5．负数 2

6．整数 2

2．偶数 2

4．正数 2

3．奇数 2

7．分数 3

8．有理数 3

9．数轴 3

10．相反数 4

12．绝对值 5

11．倒数 5

13．有理数大小的比较 6

14．运算定律 7

15．有理数加法法则 7

16．有理数减法法则 8

17．有理数乘法法则 9

18．有理数除法法则 10

19．有理数的乘方 11

20．有理数的运算顺序 12

21．近似数与有效数字 13

三实数 14

1．数的开方 14

（1）平方根 14

（2）开平方 15

（3）算术平方根 15

（4）平方根与算术平方根的区别与联系 15

（5）立方根 16

*（9）n次算术根 17

*（8）开n次方 17

（6）开立方 17

*（7）n次方根 17

*（10）开方 18

2．实数 18

（1）无理数 18

（2）实数 18

（3）实数的运算 20

（4）实数中的非负数及其性质 21

二代数式 22

一代数式的基本概念 22

1．代数式 22

2．代数式的分类 23

3．列代数式 23

4．代数式的值 23

1．单项式 25

3．降幂排列 25

2．多项式 25

二整式 25

5．代数式、等式、方程三者间的区别与联系 25

4．升幂排列 26

5．整式 26

6．同类项 26

7．合并同类项 26

8．合并同类项的法则 26

10．添括号法则 27

9．去括号法则 27

11．整式的加减法则 28

12．幂的运算性质 29

13．整式的乘法法则 30

14．乘法公式 31

15．整式的除法法则 33

三因式分解 35

1．因式分解 35

（2）运用公式法 36

（1）提取公因式法 36

2．因式分解的常用方法 36

*（3）十字相乘法 37

（4）求根公式法 38

（5）分组分解法 38

（6）配方法 39

3．因式分解的一般步骤 39

四分式 40

1．分式 40

4．分式的符号法则 41

2．有理式 41

3．分式的基本性质 41

5．约分 42

6．最简分式 42

7．分式的乘法法则 43

8．分式的除法法则 43

9．分式的乘方法则 43

13．分式的混合运算法则 44

12．分式的加减运算法则 44

11．最简公分母 44

10．通分 44

五二次根式 46

1．二次根式 46

2．二次根式的性质 46

3．二次根式的乘法法则 49

4．二次根式的除法法则 49

5．分母有理化 50

6．有理化因式 50

8．同类二次根式 51

7．最简二次根式 51

9．二次根式的加减法则 52

10．二次根式的混合运算 52

三方程 55

一方程 55

1．方程的概念 55

2．方程的分类 55

（3）解一元一次方程的步骤 56

（2）移项 56

3．一元一次方程 56

（1）一元一次方程 56

4．一元二次方程 57

（1）一元二次方程 57

（2）整式方程 57

（3）一元二次方程的分类 57

（4）一元二次方程的解法 58

（5）一元二次方程根的判别式 61

（6）一元二次方程根的判别式的应用 62

*（7）一元二次方程根与系数的关系 62

*（8）一元二次方程根与系数关系的应用 63

*5．一元高次方程 67

（1）高次方程 67

（2）解高次方程的基本思路 67

（2）解分式方程的基本思想 68

（4）解分式方程的特殊方法——换元法 68

（3）解分式方程的一般方法和步骤 68

（1）分式方程 68

6．分式方程 68

7．有理方程 69

*8．无理方程 69

（3）用代入消元法解二元一次方程组的步骤 70

（2）二元一次方程组 70

（1）二元一次方程 70

4．二元一次方程组 70

3．解方程组的基本方法 70

2．解方程组的基本思想 70

1．方程组的概念 70

二方程组 70

（4）用加减消元法解二元一次方程组的步骤 71

5．二元一次方程组 72

*6．二元二次方程组 72

三列方程（组）解应用题 74

1．列方程（组）解应用题的一般步骤 74

（1）行程问题 75

3．列方程（组）解应用题的常见类型 75

2．列方程（组）解应用题的关键 75

（2）工程问题 78

（3）面积、体积问题 79

（4）数字问题 80

（5）利率与税收问题 81

（6）商业利润问题 82

（7）平均增长率问题 83

（8）最优方案选择问题 84

四不等式 87

一不等式的基本概念 87

1．不等式 87

2．不等式的解集 87

3．解不等式 87

二不等式的基本性质 87

3．一元一次不等式及其解法 88

*2．不等式的同解原理 88

三不等式的解法 88

1．同解不等式 88

4．一元一次不等式组及其解法 89

五函数 93

一函数的概念 93

1．平面直角坐标系 93

2．点的坐标 93

3．特殊点的坐标特征 93

6．自变量的取值范围 95

7．函数值 95

4．常量与变量 95

5．函数 95

8．函数的表示方法 96

9．由函数解析式画函数图象的步骤 97

二正比例函数 98

1．正比例函数 98

2．正比例函数的图象 98

3．正比例函数的性质 98

1．一次函数 101

三一次函数 101

2．一次函数的图象 102

3．一次函数的性质 103

4．一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系 105

5．一次函数的应用题 107

四二次函数 111

1．二次函数 111

（1）最简单的二次函数y=ax2的图象 112

（2）二次函数y=ax2的图象的画法（五点法） 112

2．二次函数的图象 112

（3）二次函数y=ax2+k的图象 113

（4）二次函数y=a(x-h)2的图象 114

（5）二次函数y=a(x-h)2+k的图象 115

（6）二次函数y=ax2+hx+c的图象 116

（7）二次函数y=ax2+bx+c的图象的画法步骤（五点法） 116

（8）决定抛物线特征的条件 116

3．二次函数的性质 119

（1）二次函数y=ax2的性质 119

4．用待定系数法确定二次函数解析式的方法 120

（2）二次函数y=ax2+bx+c的性质 120

5．二次函数的应用题 125

五反比例函数 128

1．反比例函数 128

2．反比例函数的图象 129

3．反比例函数的性质 129

4．样本容量 132

3．样本 132

2．个体 132

1．总体 132

一平均数 132

六统计初步 132

5．平均数 133

6．总体平均数 133

7．样本平均数 133

8．加权平均数 134

二众数和中位数 134

1．众数 134

2．中位数 135

三方差 136

1．样本方差 136

2．样本方差的简化计算公式 136

3．样本标准差 136

4．总体方差 136

四频率分布 138

1．频数 138

2．频率 138

3．频率分布表 138

4．频率分布直方图 138

第二部分 几 何 142

一基本概念 142

1．几何学 142

8．平面几何 143

7．平面图形 143

6．几何图形 143

5．点 143

3．面 143

2．几何体 143

4．线 143

2．直线的表示方法 144

5．直线的基本性质（公理） 144

3．点的表示方法 144

4．公理 144

1．直线 144

一线段 144

二线段和角 144

6．射线 145

7．线段 145

8．直线、射线、线段三者之间的关系 145

9．线段的基本性质（公理） 146

10．两点间的距离 146

11．线段的中点 146

1．角 147

2．角的表示方法 147

二角 147

3．平角 148

4．直角 148

5．周角 148

6．锐角 148

7．钝角 148

8．角平分线 148

9．互为补角 149

10．补角的性质 149

11．互为余角 149

12．余角的性质 149

13．邻补角 150

3．对顶角的性质 154

6．点到直线的距离 154

4．两条直线互相垂直 154

5．垂线段 154

1．两条直线相交 154

一相交线 154

三相交线、平行线 154

2．对顶角 154

7．斜线 155

8．垂线的基本性质 155

二平行线 156

1．三线八角 156

2．平行线 156

6．平行线的判定定理（一） 157

7．平行线的判定定理（二） 157

4．平行公理的推论 157

5．平行线的判定公理 157

3．平行公理 157

8．平行线的判定定理（三） 158

9．平行线的性质（一）（公理） 159

10．平行线的性质（二） 159

11．平行线的性质（三） 159

18．推论 160

17．证明命题的一般步骤 160

16．证明 160

14．假命题 160

13．真命题 160

12．命题 160

15．定理 160

四三角形 161

一三角形的有关概念 161

1．三角形 161

2．三角形的边 161

3．三角形的顶点 161

4三角形的内角 161

5．三角形的角平分线 161

6．三角形的中线 161

7．三角形的高 162

8．三角形的周长和面积 163

9．三角形的稳定性 163

10．三角形的分类 164

13．三角形三边关系定理的应用 165

11．三角形三边关系定理 165

12．三角形三边关系定理的推论 165

14．三角形三边关系定理在实际生活中的应用 168

15．三角形内角和定理 169

16．三角形的外角 169

17．三角形内角和定理的推论 170

二全等三角形 173

1．全等形 173

2．全等三角形 173

3．对应顶点 173

4．对应角 173

5．对应边 173

6．全等三角形的表示方法 175

7．全等三角形的基本性质 175

8．三角形全等的判定（一） 176

12．斜边、直角边公理 178

11．三角形全等的判定（三） 178

9．三角形全等的判定（二） 178

10．角边角公理的推论 178

13．证明两个三角形全等的思路 179

14．寻找证明途径的思考方法 179

15．全等三角形的应用 180

16．全等三角形在实际生活中的应用 182

17．构造全等三角形的常用方法 183

18．角平分线定理 185

21．互逆定理 186

19．角平分线定理的逆定理 186

20．互逆命题 186

三等腰三角形 188

1．等腰三角形的性质定理 188

2．等腰三角形性质定理的推论（一） 189

3．等腰三角形性质定理的推论（二） 189

4．等腰三角形中常用的辅助线（一） 190

8．等腰三角形判定定理的推论（三） 192

7．等腰三角形判定定理的推论（二） 192

5．等腰三角形的判定定理 192

6．等腰三角形判定定理的推论（一） 192

9．等腰三角形中常用的辅助线（二） 194

*10．三角形中边与角之间的不等关系定理 196

11．线段的垂直平分线及其定理 197

12．有关线段垂直平分线的辅助线规律 197

13．轴对称 199

14．轴对称的性质 199

15．轴对称图形 199

四直角三角形 201

1．直角三角形的性质定理 201

2．直角三角形的判定定理 201

3．勾股定理 201

4．勾股定理的逆定理 204

5．特殊三角形的基本性质 206

3．凸四边形 208

2．四边形的表示方法 208

5．四边形的内角 208

4．四边形的对角线 208

1．四边形 208

一四边形的基本概念和性质 208

五四边形 208

6．四边形的内角和定理 209

7．四边形的外角 209

8．四边形的外角和定理 209

9．四边形的不稳定性 209

10．四边形中常用的辅助线 210

11．多边形 211

12．多边形的内角和定理 211

13．多边形内角和定理的推论 211

二四边形的分类 212

三平行四边形 213

1．平行四边形 213

2．平行四边形的性质 213

3．两平行线间的距离 214

4．平行四边形的判定定理 216

5．矩形 218

6．矩形的性质 219

7．矩形的判定 219

8．菱形 220

9．菱形的性质 220

10．菱形的判定 221

11．正方形 223

12．正方形的性质 223

13．正方形的判定 224

14．正方形的面积 224

15．中心对称 228

16．中心对称图形 228

17．中心对称的性质 229

18．中心对称的判定定理 229

4．等腰梯形 231

3．直角梯形 231

6．等腰梯形的判定定理 231

5．等腰梯形的性质定理 231

2．梯形的分类 231

1．梯形 231

四梯形 231

7．解决梯形问题的基本思路 232

8．梯形中常见的辅助线 232

9．平行线等分线段定理 235

10．平行线等分线段定理的推论 235

14．梯形中位线定理 237

13．梯形的中位线 237

12．三角形中位线定理 237

11．三角形的中位线 237

15．梯形的面积公式 239

六相似形 243

一成比例线段 243

1．线段的比 243

2．比的前项和后项 243

3．比例线段 243

4．比例的项、外项、内项、第四比例项 243

7．比例基本性质的推论 244

6．比例的基本性质 244

5．比例中项 244

8．反比性质 245

9．更比性质 245

10．合比性质 245

11．等比性质 245

12．黄金分割 246

13．平行线分线段成比例定理 246

14．平行线分线段成比例定理的推论 247

16．三角形一边的平行线的性质定理 248

15． 三角形一边的平行线的判定定理 248

二相似形 251

1．相似三角形 251

2．相似比 251

3．相似三角形的判定定理 252

4．直角三角形相似的判定定理 255

5．相似三角形判定定理的选择 255

6．相似三角形中的基本图形 257

7．相似三角形的性质 261

1．锐角三角函数的概念 265

七解直角三角形 265

一锐角三角函数 265

2．三角函数间的关系 266

3．特殊角的三角函数值 266

4．锐角三角函数的变化规律 267

二解直角三角形 269

1．解直角三角形 269

2．直角三角形中的边角关系 270

3．解直角三角形的基本类型和方法 270

4．解直角三角形的应用举例 274

八圆 279

一圆的概念和性质 279

1．圆 279

2．弦 279

3．弧 279

4．优弧和劣弧 279

5．弓形 279

6．等圆 279

11．点与圆的位置关系及判定 280

10．圆的外部 280

7．等弧 280

9．圆的内部 280

8．同心圆 280

*12．点的轨迹 281

*13．五种基本轨迹 281

14．确定圆的条件 282

15．三角形的外接圆 282

16．圆的轴对称性 282

17．垂径定理 283

18．垂径定理的推论 283

19．圆的中心对称性 287

20．圆的旋转不变性 287

21．圆心角 287

22．弦心距 287

23．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 287

3．圆心角的度数与它所对弧度数的关系 288

2．1°的弧 288

1．圆心角 288

二和圆有关的角 288

4．圆周角 289

5．圆周角与圆心角的关系 289

6．圆周角定理的推论 290

*7．弦切角 293

*8．弦切角定理 294

*9．弦切角定理的推论 294

三直线与圆、圆与圆的位置关系 295

1．直线与圆的位置关系 295

2．直线与圆的位置关系的性质和判定 295

3．切线的判定定理 296

4．切线的性质定理 296

5．切线性质定理的推论 296

6．三角形的内切圆 300

7．多边形的内切圆 300

*9．切线长定理 301

10．圆与圆的位置关系 301

*8．切线长 301

11．两圆位置关系的性质和判定 302

12．两圆连心线的性质 304

13．两圆的公切线 307

14．两圆的位置关系与公切线条数间的关系 307

15．公切线长定理 309

16．公切线长的求法 309

2．相交弦定理的推论 313

1．相交弦定理 313

四和圆有关的比例线段 313

3．切割线定理 314

4．切割线定理的推论 314

五圆和多边形 317

1．圆内接多边形 317

2．圆内接四边形的性质定理 317

3．圆外切四边形的性质 319

4．正多边形 319

9．正n边形的有关计算 320

8．正多边形的内角公式 320

5．正多边形的判定定理 320

6．正多边形的性质定理 320

7．与正多边形有关的概念 320

六圆周长、圆面积 323

1．圆周长 323

2．弧长 323

5．扇形的面积 324

7．弓形的面积 324

6．弓形 324

4．扇形 324

3．圆面积 324

8．阴影部分面积 325

9．圆柱 328

10．圆柱的特征 328

11．圆锥 328

12．圆锥的特征 329

2．基本作图 332

1．尺规作图 332

一基本作图 332

九尺规作图 332

二作图题举例 334

十证题术简介 338

一怎样证明两直线平行 338

1．利用角相等（或互补）证两直线平行 338

2．利用平行线的性质证两直线平行 338

3．利用平行四边形证两直线平行 339

4．利用三角形（或梯形）的中位线证两直线平行 339

5．利用成比例证两直线平行 339

二怎样证两直线垂直 340

1．利用直角证明两直线互相垂直 340

2．利用等腰三角形“三线合一”证明两直线垂直 340

3．利用勾股定理的逆定理证两直线垂直 341

4．利用菱形的对角线互相垂直证两直线垂直 341

5．利用垂径定理证两直线互相垂直 341

1．利用全等三角形证两角相等 342

三怎样证明两角相等 342

6．利用“直径上的圆周角是直角”证两直线互相垂直 342

2．利用等腰三角形证两角相等 343

3．利用相似三角形证两角相等 343

4．利用平行四边形证两角相等 344

5．利用平行线证两角相等 344

6．利用圆证明两角相等 345

7．利用同角（或等角）的余角或补角相等证两角相等 345

四怎样证明两线段相等 346

1．利用全等三角形证两线段相等 346

2．利用等腰三角形证两线段相等 347

3．利用平行四边形证两线段相等 347

4．利用圆证两线段相等 348

5．利用比例线段证两线段相等 349

6．通过计算证明两线段相等 349

五怎样证明比例式与等积式 350

1．直接应用定理法 350

2．三角形相似法 351

3．引辅助线法 352

4．等量传递法 354

5．面积法 355

六怎样证明线段的和、差、倍、分 356

1．截长补短法 356

2．加倍折半法 357

3．面积桥法 358

1．利用三角形中边、角不等量定理 359

七怎样证明线段或角的不等关系 359

2．利用圆中的不等量关系 360

十一综合复习 362

一综合复习要求 362

1．综合题 362

2．复习要求 362

二综合题解法举例 364

综合检测试题 391

综合检测试题参考答案 409