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第一章 向量与向量函数分析 1

§1.1 向量及其运算 1

1.1.1 向量 1

目录 1

1.1.2 向量与向量运算的坐标表示 2

1.1.3 柱面坐标系和球面坐标系 6

§1.2 向量值函数的概念 8

1.2.1 向量值函数的定义 8

1.2.2 向量值函数的运算 10

1.3.1 向量值函数的极限 11

§1.3 向量值函数的极限和连续性 11

1.3.2 向量值函数的连续性 13

§1.4 向量值函数的导数 14

1.4.1 向量值函数的导数 14

1.4.2 向量值函数的求导规则 18

§1.5 向量值函数的积分 20

1.5.1 体积分 20

1.5.2 曲面积分 23

1.5.3 曲线积分 25

1.5.4 高斯公式和斯托克斯公式 28

习题1 29

第二章 数量场 32

§2.1 数量场的几何描述 等值面 32

§2.2 数量场的方向导数和梯度 34

2.2.1 方向导数 34

2.2.2 梯度 37

习题2 40

第三章 向量场 43

§3.1 向量场的几何描述 向量线 43

§3.2 向量场的通量和梯度 46

3.2.1 通量 46

3.2.2 散度 50

§3.3 向量场的环量和旋度 58

3.3.1 环量 59

3.3.2 环量面密度和旋度 61

3.3.3 场函数的导数与梯度、散度和旋度的关系 67

习题3 71

第四章 微分形式的外微分及其应用 74

§4.1 微分形式及其外微分 74

4.1.1 自变量微分的外积 74

4.1.2 微分形式 75

4.1.3 微分形式的外微分 79

§4.2 微分形式外微分的应用 81

习题4 84

第五章 三种特殊形式的向量场 86

§5.1 保守场 86

5.1.1 保守场的概念 86

5.1.2 保守场的势函数 88

5.1.3 保守场的旋度 93

§5.2 管形场 96

§5.3 调和场 99

习题5 103

§6.1 曲线坐标系的定义 105

第六章 正交曲线坐标系 105

§6.2 正交曲线坐标系中的弧微分 108

§6.3 梯度、散度、旋度和调和量在正交曲线 112

坐标系中的表示式 112

6.3.1 梯度 112

6.3.2 散度 112

6.3.3 旋度 114

6.3.4 梯度、散度、旋度及调和量在柱面坐标系和 115

球面坐标系中的表示式 115

习题6 116

7.1.1 复数及其几何表示 118

§7.1 复数及其代数运算 118

第七章 复数与平面点集 118

7.1.2 复数的运算 120

§7.2 复球面与无穷远点 127

§7.3 平面点集 128

习题7 134

第八章 解析函数 136

§8.1 复变函数 136

8.1.1 复变函数的概念 136

8.1.2 复变函数的几何表示 138

8.2.1 复变函数的极限 141

§8.2 复变函数的极限和连续性 141

8.2.2 复变函数的连续性 143

§8.3 解析函数 148

§8.4 初等函数 157

8.4.1 指数函数 157

8.4.2 三角函数 159

8.4.3 根式函数 161

8.4.4 对数函数 166

＊8.4.5 一般幂函数与一般指数函数 168

8.4.6 反三角函数 170

习题8 171

§9.1 积分及其性质 175

第九章 复变函数的积分 175

§9.2 柯西定理 180

9.2.1 柯西定理 180

9.2.2 解析函数的原函数 187

9.2.3 多连通区域的柯西定理 190

§9.3 柯西公式 193

9.3.1 柯西公式 193

9.3.2 解析函数的高阶导数 196

习题9 201

§10.1 复数项级数 204

第十章 复变函数的级数表示 204

§10.2 复变函数项级数 207

§10.3 幂级数 210

§10.4 泰勒级数 214

10.4.1 解析函数的泰勒级数 214

10.4.2 解析函数的零点 218

§10.5 罗朗级数 221

10.5.1 圆环内解析函数的罗朗级数 221

10.5.2 利用罗朗级数讨论孤立奇点 227

习题10 233

11.1.1 残数基本定理 237

§11.1 残数的一般理论 237

第十一章 残数及其应用 237

11.1.2 残数的计算 239

11.1.3 无穷远点的残数 241

§11.2 残数在实积分计算中的应用 244

§11.3 辐角原理及其应用 252

习题11 259

第十二章 保形映射 262

§12.1 保形映射的概念 262

＊§12.2 保形映射的基本理论 265

12.3.1 线性映射的性质 268

§12.3 线性映射 268

12.3.2 例题 275

§12.4 初等保形映射 279

12.4.1 幂函数 279

12.4.2 指数函数与对数函数 280

12.4.3 初等保形映射的应用 282

习题12 291

＊第十三章 解析开拓 295

§13.1 解析开拓的一般概念 295

§13.2 解析开拓的方法 302

13.2.1 幂级数开拓法 302

13.2.2 对称原理 303

§13.3 多角形映射 306

习题13 313

第十四章 调和函数 315

§14.1 调和函数及其性质 315

§14.2 狄里克莱问题 321

§14.3 解析函数对平面场的应用 326

14.3.1 平面场的概念 327

14.3.2 表征平面调和场的解析函数 328

14.3.3 平面场的物理解释 331

习题14 335

第十五章 傅里叶变换 337

§15.1 傅里叶变换的概念 338

15.1.1 傅里叶级数与傅里叶积分 338

15.1.2 傅里叶变换 345

15.1.3 傅里叶正弦、余弦变换 349

§15.2 傅里叶变换的性质 353

15.2.1 基本性质 353

15.2.2 卷积和相关函数 358

15.2.3 傅里叶变换在解微分方程中的应用 364

§15.3 δ函数及其傅里叶变换 366

15.3.1 δ函数的概念与性质 367

15.3.2 δ函数的傅里叶变换 370

§15.4 实变复值函数的傅里叶变换 374

§15.5 离散傅里叶变换 377

15.5.1 离散傅里叶变换的定义 377

15.5.2 离散傅里叶变换的性质和有关定理 380

§15.6 快速傅里叶变换算法原理 382

习题15 387

第十六章 拉普拉斯变换 391

§16.1 拉普拉斯变换的概念 391

§16.2 拉普拉斯变换的性质 396

§16.3 拉普拉斯逆变换 404

16.4.1 卷积 409

§16.4 卷积定理 409

16.4.2 卷积定理 410

§16.5 拉普拉斯变换的应用 413

16.5.1 求解常微分方程、积分方程 413

16.5.2 求解偏微分方程 415

16.5.3 线性系统中的应用 416

习题16 418

习题参考答案 423

附录Ⅰ 哈密尔顿算子 499

附录Ⅱ 傅里叶变换简表 502

附录Ⅲ 拉普拉斯变换简表 509