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第1章 0的故事——无即是有本章学习内容 2

小学一年级的回忆 2

10进制计数法 3

什么是10进制计数法 3

分解2503 3

2进制计数法 4

什么是2进制计数法 4

分解1100 5

基数转换 6

计算机中为什么采用2进制计数法 8

按位计数法 10

什么是按位计数法 10

不使用按位计数法的罗马数字 11

指数法则 12

10的0次方是什么 12

10-1是什么 13

规则的扩展 14

对20进行思考 14

2-1是什么 15

0所起的作用 16

0的作用：占位 16

0的作用：统一标准，简化规则 16

日常生活中的0 17

人类的极限和构造的发现 18

重温历史进程 18

为了超越人类的极限 19

本章小结 20

第2章 逻辑——真与假的二元世界本章学习内容 22

为何逻辑如此重要 22

逻辑是消除歧义的工具 22

致对逻辑持否定意见的读者 23

乘车费用问题——兼顾完整性和排他性 23

车费规则 23

命题及其真假 24

有没有“遗漏” 24

有没有“重复” 25

画一根数轴辅助思考 26

注意边界值 28

兼顾完整性和排他性 28

使用if语句分解问题 28

逻辑的基本是两个分支 29

建立复杂命题 30

逻辑非——不是A 30

逻辑与——A并且B 32

逻辑或——A或者B 34

异或——A或者B（但不都满足） 37

相等——A和B相等 39

蕴涵——若A则B 40

囊括所有了吗 45

德·摩根定律 46

德·摩根定律是什么 46

对偶性 47

卡诺图 48

二灯游戏 48

首先借助逻辑表达式进行思考 49

学习使用卡诺图 50

三灯游戏 52

包含未定义的逻辑 54

带条件的逻辑与（＆＆） 55

带条件的逻辑或（‖） 57

三值逻辑中的否定（！） 58

三值逻辑的德·摩根定律 58

囊括所有了吗 59

本章小结 60

第3章 余数——周期性和分组本章学习内容 64

星期数的思考题（1） 64

思考题（100天以后是星期几） 64

思考题答案 64

运用余数思考 65

余数的力量——将较大的数字除一次就能分组 65

星期数的思考题（2） 66

思考题（10 100天以后是星期几） 66

提示：可以直接计算吗 67

思考题答案 67

发现规律 68

直观地把握规律 68

乘方的思考题 70

思考题（1234567987654321） 70

提示：通过试算找出规律 70

思考题答案 70

回顾：规律和余数的关系 71

通过黑白棋通信 71

思考题 71

提示 73

思考题答案 73

奇偶校验 73

奇偶校验位将数字分为两个集合 74

寻找恋人的思考题 74

思考题（寻找恋人） 74

提示：先试算较小的数 74

思考题答案 75

回顾 75

铺设草席的思考题 77

思考题（在房间里铺设草席） 77

提示：先计算一下草席数 77

思考题答案 78

回顾 78

一笔画的思考题 79

思考题（哥尼斯堡七桥问题） 79

提示：试算一下 80

提示：考虑简化一下 81

提示：考虑入口和出口 82

思考题答案 82

奇偶校验 85

本章小结 86

第4章 数学归纳法——如何征服无穷数列本章学习内容 88

高斯求和 88

思考题（存钱罐里的钱） 88

思考一下 89

小高斯的解答 89

讨论一下小高斯的解答 89

归纳 91

数学归纳法——如何征服无穷数列 91

0以上的整数的断言 92

高斯的断言 93

什么是数学归纳法 93

试着征服无穷数列 94

用数学归纳法证明高斯的断言 95

求出奇数的和——数学归纳法实例 96

奇数的和 96

通过数学归纳法证明 97

图形化说明 98

黑白棋思考题——错误的数学归纳法 99

思考题（黑白棋子的颜色） 99

提示：不要为图所惑 100

思考题答案 100

编程和数学归纳法 101

通过循环表示数学归纳法 101

循环不变式 103

本章小结 107

第5章 排列组合——解决计数问题的方法本章学习内容 110

计数——与整数的对应关系 110

何谓计数 110

注意“遗漏”和“重复” 111

植树问题——不要忘记0 111

植树问题思考题 111

加法法则 115

加法法则 115

乘法法则 117

乘法法则 117

置换 121

置换 121

归纳一下 122

思考题（扑克牌的摆法） 123

排列 125

排列 125

归纳一下 126

树形图——能够认清本质吗 128

组合 130

组合 130

归纳一下 131

置换、排列、组合的关系 132

思考题练习 134

重复组合 134

也要善于运用逻辑 136

本章小结 139

第6章 递归——自己定义自己本章学习内容 142

汉诺塔 142

思考题（汉诺塔） 142

提示：先从小汉诺塔着手 143

思考题答案 146

求出解析式 148

解出汉诺塔的程序 149

找出递归结构 150

再谈阶乘 151

阶乘的递归定义 152

思考题（和的定义） 153

递归和归纳 153

斐波那契数列 154

思考题（不断繁殖的动物） 154

斐波那契数列 157

帕斯卡三角形 159

什么是帕斯卡三角形 159

递归定义组合数 162

组合的数学理论解释 163

递归图形 165

以递归形式画树 165

实际作图 166

谢尔平斯基三角形 167

本章小结 168

第7章 指数爆炸——如何解决复杂问题本章学习内容 172

什么是指数爆炸 172

思考题（折纸问题） 172

指数爆炸 175

倍数游戏——指数爆炸引发的难题 176

程序的设置选项 176

不能认为是“有限的”就不假思索 178

二分法查找——利用指数爆炸进行查找 178

寻找犯人的思考题 178

提示：先思考人数较少的情况 179

思考题答案 180

找出递归结构以及递推公式 181

二分法查找和指数爆炸 183

对数——掌握指数爆炸的工具 184

什么是对数 184

对数和乘方的关系 184

以2为底的对数 186

以2为底的对数练习 186

对数图表 187

指数法则和对数 188

对数和计算尺 190

密码——利用指数爆炸加密 193

暴力破解法 193

字长和安全性的关系 193

如何处理指数爆炸 195

理解问题空间的大小 195

四种处理方法 195

本章小结 196

第8章 不可解问题——不可解的数、无法编写的程序本章学习内容 200

反证法 200

什么是反证法 200

质数思考题 202

反证法的注意事项 203

可数 203

什么是可数 203

可数集合的例子 204

有没有不可数的集合 206

对角论证法 207

所有整数数列的集合是不可数的 207

所有实数的集合是不可数的 211

所有函数的集合也是不可数的 212

不可解问题 213

什么是不可解问题 213

存在不可解问题 214

思考题 215

停机问题 215

停机 216

处理程序的程序 217

什么是停机问题 217

停机问题的证明 219

写给尚未理解的读者 222

不可解问题有很多 223

本章小结 224

第9章 什么是程序员的数学——总结篇本章学习内容 226

何为解决问题 229

认清模式，进行抽象化 229

由不擅长催生出的智慧 229

幻想法则 230

程序员的数学 231