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第一章　一些通用的数学概念与记号 1

1．逻辑符号 1

1．关系与括号 1

序言 1

2．关于证明的注记 3

3．某些专门记号 3

4．最后的注记 4

练习 4

2．集与集的初等运算 5

1．集合的概念 5

2．包含关系 7

3．最简单的集合运算 9

练习 11

1．函数（映射）的概念 13

3．函数 13

2．映射的简单分类 18

3．函数的复合与互逆映射 19

4．作为关系的函数．函数的图象 21

练习 25

4．某些补充 28

1．集的势（基数） 28

2．集合的公理理论 31

3．关于数学述语的结构及其用集合论语言的写法的注记 33

练习 35

第二章　实数 38

1　实数集的公理体系及它的某些一般性质 38

1．实数集的定义 38

2．实数的某些一般的代数性质 42

3．完备公理与数集的上（下）确界的存在性 47

2．最重要的实数类及实数运算的一些计算问题 49

1．自然数与数学归纳原理 49

2．有理数与无理数 53

3．阿基米德原理 57

4．实数集的几何解释与实数运算的一些计算问题 60

习题与练习 74

3．与实数集的完备性有关的基本引理 79

1．闭区间套引理（柯西-康托尔原理） 79

2．有限覆盖引理（波莱尔-勒贝格原理） 80

3．极限点引理（波尔察诺-维尔斯特拉斯原理） 81

习题与练习 82

1．可数集 83

4．可数集与不可数集 83

2．连续统的势 85

习题与练习 86

第三章　极限 89

1．序列的极限 90

1．定义和例子 90

2．数列极限的性质 92

3．数列极限的存在问题 97

4．级数的初步知识 110

习题与练习 122

2．函数的极限 126

1．定义和例子 126

2．函数极限的性质 131

3．函数极限的一般定义（对基底的极限） 150

4．函数极限的存在问题 155

习题与练习 174

第四章　连续函数 179

1．基本定义和例子 179

1．函数在一点处的连续性 179

2．间断点 185

2．连续函数的性质 188

1．局部性质 188

2．连续函数的整体性质 190

习题与练习 202

第五章　微分学 207

1．可微函数 207

1．问题和引言 207

2．在一点处可微的函数 213

3．切线；导数和微分的几何意义 216

4．坐标系的作用 220

5．一些例子 221

习题与练习 228

2．微分的基本法则 229

1．微分法和算术运算 230

2．复合函数的微分法 234

3．反函数的微分法 238

4．基本初等函数的导数表 244

5．最简单的隐函数的微分法 245

6．高阶导数 250

习题与练习 255

3．微分学的基本定理 256

1．关于有限增量的拉格朗日定理 256

2．泰勒公式 263

习题与练习 278

1．函数单调的条件 283

4．用微分学的方法研究函数 283

2．函数内极值点的条件 284

3．函数凸的条件 291

4．洛必达法则 300

5．作函数的图象 303

习题与练习 313

5．复数、初等函数彼此间的联系 318

1．复数 318

2．C中的收敛及复数项级数 322

3．欧拉公式以及初等函数彼此间的联系 328

4．函数的解析性和它的泰勒级数的收敛性 332

5．复数域C的代数封闭性 340

习题与练习 347

1．齐奥尔柯夫斯基公式 349

6．自然科学中应用微分学的一些例子 349

2．气压公式 351

3．放射衰变、连锁反应及原子反应堆 354

4．物体在空气中降落 357

5．再谈数e及函数expx 359

6．振动 362

习题与练习 367

7．原函数 370

1．原函数和不定积分 370

2．求原函数的基本的一般方法 373

3．有理函数的原函数 379

4．？R(cosx,sinx)dx型的原函数 384

5．？R(x,y(x))dx型的原函数 387

习题与练习 391