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第一专题 初等数论 1

第一讲 整除性理论及应用/ 1

1.1带余除法 1

1.2整数的进位制 9

1.3最大公约数与最小公倍数/ 20

1.4欧拉函数与勒让德（Legendre）定理/ 27

第二讲 同余理论及应用/ 32

2.1剩余类和完全剩余系/ 32

2.2欧拉定理与费马小定理 39

2.3模数列的周期性/ 43

第三讲 方程理论及应用/ 48

3.1一元一次同余方程/ 48

3.2多元一次不定方程（组）/ 56

第一专题 习题简答与提示/ 62

第二专题 初等函数/ 67

第一讲 函数的图象及性质/ 67

1.1函数的图象/ 67

1.2函数的性质/ 70

第二讲 最大值与最小值/ 78

2.1运用函数性质探求最值 78

2.2借助不等式探求最值 84

2.3运用数形结合探求最值/ 86

第三讲 三角函数的性质与应用/ 89

3.1三角函数的性质/ 89

3.2三角函数恒等式证明 92

3.3三角函数的应用/ 94

第四讲 函数方程与函数迭代问题/ 101

4.1探求函数的解析式/ 101

4.2探求函数的值/ 109

4.3讨论函数的性质/ 111

4.4函数迭代中的“穿脱”技法/ 116

第五讲 竞赛中含绝对值问题的求解技法/ 121

5.1凑配法/ 121

5.2构造法/ 123

5.3裂差求和法/ 124

5.4特殊化法/ 125

5.5三角代换法/ 126

5.6等分区间法/ 127

5.7反证法与其他方法的综合运用 128

第六讲 高斯函数[x]/ 130

6.1高斯函数的性质 130

6.2广泛的应用与解题技巧/ 130

第二专题 习题简答与提示/ 136

第三专题 不等式/ 143

第一讲 处理不等式问题的方法与技巧/ 143

1.1不等式证明通法 143

1.2处理不等式问题的一些特殊技巧/ 152

第二讲 一些著名不等式及应用/ 164

2.1复数模不等式及应用/ 164

2.2平均值不等式及应用/ 170

2.3柯西不等式及应用/ 177

2.4排序不等式及应用/ 185

第三专题 习题简答与提示/ 193

第四专题 数列/ 199

第一讲 等差数列与等比数列/ 199

1.1等差（比）数列的性质问题/ 199

1.2等差（比）数列的求和问题/ 201

1.3给定an和sn相互关系问题/ 202

1.4数列与不等式综合型问题/ 204

第二讲 递推数列/ 206

2.1叠加法和迭代法/ 206

2.2特征根法/ 209

2.3数学归纳法/ 212

2.4联立递推式给出的数列问题/ 212

2.5双重递推式给出的数列问题/ 213

第三讲 递推数列的综合与应用/ 219

3.1转化为周期数列求解数值问题/ 219

3.2运用反证探索求解数列问题/ 220

3.3运用变换的思想探求数列的通项/ 220

3.4探索数列性质的巧法/ 223

3.5构造递推数列的广泛应用/ 226

第四讲 数学归纳法实现归纳过渡的技法与广泛的应用/ 230

4.1数学归纳法的证题原理/ 230

4.2实现归纳过渡的技巧与策略/ 230

4.3数学归纳法证题的广泛应用/ 240

第四专题 习题简答与提示/ 245

第五专题复数与向量/ 250

第一讲 复数/ 250

1.1复数问题及其解法/ 250

1.2单位根及其应用/ 265

1.3复数方法/ 275

第二讲 向量/ 293

2.1用向量法求解代数、三角问题/ 295

2.2用向量法求解几何问题/ 297

第五专题 习题简答与提示/ 312

第六专题初等几何/ 321

第一讲 平面几何的问题与方法/ 321

1.1几个著名定理及其应用/ 321

1.2 几种重要方法及其应用/ 330

1.3几类重点问题及其解法 340

第二讲 立体几何的问题与方法/ 358

2.1立体几何的解题策略/ 358

2.2四面体问题/ 378

2.3切球问题/ 393

第三讲 解析几何的问题与方法/ 399

3.1解析几何的基本问题及解法 399

3.2平面区域问题/ 412

3.3解析法/ 419

3.4曲线系及其应用/ 432

第六专题 习题简答与提示/ 437

第七专题 方程与多项式/ 455

第一讲 有关方程的热点问题/ 455

1.1求解方程（组）型/ 455

1.2以方程形式出现的代数式求值问题/ 457

1.3关于方程之系数间制约条件的探索/ 459

1.4关于方程（组）有解（或无解）的判定/ 460

1.5探索方程中参数的取值范围/ 461

第二讲 多项式的运算与性质/ 465

2.1多项式的基本定理与运算/ 465

2.2多项式的整除性与插值公式/ 470

第七专题 习题简答与提示/ 474

第八专题组合学原理及应用/ 477

第一讲 排列组合与二项式定理/ 477

1.1排列与组合/ 477

2.1二项式定理与组合恒等式的证明/ 485

第二讲 计数原理与方法/ 491

2.1抽屉原理 491

2.2容斥原理/ 499

2.3映射方法/ 504

2.4递推方法/ 508

第八专题 习题简答与提示/ 511