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目录 1

第1章　数学的萌芽 1

1.1　数概念的产生 1

1.1.1　感性—集合计数 1

1.1.2　手算、结绳和刻痕记数 2

1.1.3　数目字的出现 4

1.2　各种古老的记数法 4

1.2.1　进位制和位值制 4

1.2.2　几种古老的记数法 6

1.3　形概念的形成 11

1.4　文明古国的数学 12

1.4.1 古埃及的数学 13

1.4.2　古巴比伦 15

第2章　数学思想的发展 18

2.1　初等数学体系的形成 18

2.1.1 算术 18

2.1.2　初等几何 25

2.1.3　初等代数 32

2.1.4 中国古代的数学成就 44

2.2　变量数学的产生与发展 60

2.2.1　解析几何的出现 61

2.2.2　微积分的产生和发展 63

2.3　纯数学的兴起 72

2.3.1 几何学的变革——非欧几何的产生 72

2.3.2　分析基础的建立 76

2.3.3　代数学的突破 80

2.4　20世纪数学概观 84

2.4.1　希尔伯特的23个问题 84

2.4.2　20世纪数学发展特点 87

2.4.3　20世纪若干数学成果介绍 90

2.4.4　现代中国数学 98

2.4.5　21世纪的数学问题 101

第3章　数学哲学 104

3.1　西方早期的数学观 104

3.1.1　毕达哥拉斯学派的数学观——唯数论 104

3.1.2　柏拉图学派的数学观——数学实在论 105

3.1.3　亚里士多德的数学观——数是抽象的存在 106

3.2　中国古代的数学观 108

3.2.1　数和数学的神秘性 108

3.2.2　数学的实用主义 110

3.3　17、18世纪的数学观 111

3.3.1　17世纪的数学观 112

3.3.2　18世纪的数学观 113

3.4　现代数学观 115

3.4.1　逻辑主义 115

3.4.2　直觉主义 116

3.4.3　形式主义 117

3.5　数学的特点 118

3.5.1　抽象性 119

3.5.2　精确性 119

3.5.3　应用的广泛性 120

3.6　数学危机 122

3.6.1 第一次数学危机 122

3.6.2　第二次数学危机 123

3.6.3 第三次数学危机 125

第4章　数学与其他领域 132

4.1　数学与文学 132

4.2　数学与艺术 139

4.2.1　数学与音乐 139

4.2.2　数学与绘画 142

4.2.3　数学与建筑 146

4.3　数学与经济 149

4.4　数学与战争 155

第5章　数学的概念和命题 159

5.1　概念 159

5.1.1　概念 159

5.1.2　公理化体系的思想与方法 169

5.2　数理逻辑简介 178

5.2.1　命题简介 179

5.2.2　命题逻辑 180

5.2.3　谓词逻辑 191

5.3　高观点下的一些初等数学概念 197

5.3.1 自然数、整数、有理数 197

5.3.2　函数 208

5.3.3　实数 213

5.3.4　度量 217

5.3.5　无限与集合 226

第6章　数学的运算和证明 235

6.1　计算和运算 236

6.1.1　计算与证明 236

6.1.2　代数系统中的运算 240

6.1.3　算法 246

6.2　证明 253

6.2.1　证明的意义 254

6.2.2　初等数学中几种常见的证明方法 267

6.2.3　数学的真理性 278

第7章　数学教育与教育数学 290

7.1　数学教育领域的几件大事 290

7.1.1　培利—克莱因的数学教育改革运动 290

7.1.2　杜威实用主义教育思想的影响 292

7.1.3　新数学运动 293

7.1.4 弗赖登塔尔的数学教育思想 296

7.1.5 英国的考克罗夫特报告 297

7.1.6　全美数学教师协会的《学校数学的原则与标准》 299

7.2　教育数学 302

7.2.1　案例分析 302

7.2.2　数学教育的基本矛盾 306

7.2.3　从数学教育到教育数学 307

第8章　问题与问题解决 310

8.1　问题的认识 310

8.1.1　通常意义下问题的涵义 310

8.1.2　心理学领域中问题的涵义 311

8.1.3　数学教育领域中的问题 311

8.1.4　数学家眼中的问题 313

8.1.5　数学教师应该怎样认识问题 315

8.2　问题解决中的矛盾分析 317

8.3　模式识别与问题解决 322

8.3.1　模式 323

8.3.2　模式间的联系 326

8.3.3 问题解决中的模式识别 330

8.4　化归——问题解决的通用模式 334

8.5　问题的背景 341

8.5.1 问题背景与问题提出 341

8.5.2 问题背景与数学发现 344

8.5.3　问题背景与模式理解 346

第9章　教育数学与科学教育 351

9.1　教育数学中的科学概念 351

9.1.1　对科学概念的理解和界定 351

9.1.2 教育数学中的科学概念及其科学性 352

9.2　数学方法在科学教育中的运用 354

9.2.1　数学方法与科学方法 354

9.2.2　公理化方法 356

9.2.3　化归方法 359

9.3　观察与实验 363

9.3.1　观察 363

9.3.2 实验 366

9.4　猜想与假说 373

9.4.1 数学猜想 373

9.4.2　科学假说 375

后记 379