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目录 1

第一章 绪论：几何学——时间与空间的数学 1

第一节 几何学的进步概说 1

第二节 欧氏几何与非欧几何 3

第三节 欧氏空间和坐标几何 4

第四节 微分几何与黎曼几何 5

第五节 四维时空、Einstein狭义相对论、广义相对论 6

第二章 度量几何学 10

第一节 线段和圆弧的长度 10

第二节 面积和体积 12

第三节 球的体积和表面积 13

第四节 从长度到测度 15

第五节 三角学：定量化的几何 18

第六节 分形几何概观 25

第一节 公理化思想方法的内涵与价值 33

第三章 欧氏几何的公理化方法 33

第二节 直观性公理化时期——《几何原本》 35

第三节 思辨性的公理化时期——非欧几何 39

第四节 形式主义的公理化时期——希尔伯特的《几何基础》 42

第五节 结构主义的公理化时期——布尔巴基的《数学原本》 50

第六节 张景中欧氏几何公理体系 51

第七节 中学数学教材中的公理系统 56

第四章 平面几何名题欣赏 58

第一节 几个著名定理 58

第二节 几个著名不等式 68

第五章 平面几何问题的证明 74

第一节 证题的一般思路 74

第二节 面积法与面积坐标 83

第三节 向量法与复数法 90

第四节 几类问题的证明方法 96

第五节 几何轨迹与尺规作图 101

第一节 国际视野：平面几何教学的历史变迁 107

第六章 中学几何教学综述 107

附录 用投影法证明勾股定理 109

第二节 半个世纪以来的中国平面几何教学 109

第三节 平面几何教学与理性思维能力的培养 112

第四节 范·希尔的6个几何思维水平 116

第五节 变换几何与几何教学改革 117

附录一 中学里的几何变换 119

附录二 矩阵与变换 127

第一节 立体图形、截面图形、投影图形的画法 135

第七章 立体几何研究与解题 135

第二节 直线、平面的平行、垂直关系的对偶性 137

第三节 空间向量的数量积和向量积 140

第四节 求解立体几何问题的向量法与综合法 145

第五节 立体几何的教学 148

第六节 求解立体几何问题的算法化表述 152

第七节 立体几何例题求解及点评 154

第一节 坐标系和坐标变换 173

第八章 平面解析几何研究与解题 173

第二节 曲线、方程、函数 175

第三节 曲线的生成与类型的判别 177

第四节 射影几何与平面解析几何 181

第五节 平面解析几何的教学 185

第六节 二次曲线的实际应用 188

第七节 解析几何例题求解与点评 190

第九章 球面几何学初步 217

第一节 球面几何的有关概念 217

第二节 球面三角 219

第三节 球面坐标 222

第四节 球面几何与双曲几何 224

第十章 几何定理的机器证明 228

第一节 数学机械化与我国数学家所取得的成就 228

第二节 吴文俊几何定理证明的机械化方法 232

第三节 张景中消点算法 238