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第一章 几何结构 1

1 数学结构的意义 1

1.1 数学发展的分化与统一 1

1.2 现代数学结构的分类 2

1.3 结构的作用 4

2 现代数学中欧氏几何的结构 5

2.1 几何学的向量结构 6

2.2 几何学的度量结构 11

3 经典数学中欧氏几何的结构 14

3.1 欧几里得《几何原本》——古典公理法 14

3.2 希尔伯特《几何基础》——近代公理法 19

4 教育数学中欧氏几何的结构 26

4.1 我国现行中学几何教材的结构分析 27

4.2 国际中学几何教材改革的趋向 30

4.3 二十一世纪中学平面几何新体系的探讨 34

习题一 46

第二章 几何证题 50

1 命题与证明 50

1.1 命题 50

1.2 推理与证明 56

2 几何证题的推理方法 61

2.1 综合法与分析法 61

2.2 直接证法与间接证法 66

2.3 演绎推理与合情推理 75

3 几何证题的思考方法 79

3.1 分解拼补法 79

3.2 命题转换法 86

3.3 特殊化 97

3.4 类比 101

3.5 面积法 105

4.1 三角法 111

4 其他数学方法在几何证题中的应用 111

4.2 代数法 116

4.2 坐标法 120

4.4 向量法 124

4.5 复数法 127

习题二 138

第三章 几何变换 146

1 变换与变换群 146

1.1 映射 146

1.2 变换 147

1.3 变换群 148

2 合同变换 150

2.1 合同变换及其性质 150

2.2 平移变换 153

2.3 旋转变换 156

2.4 反射 162

2.5 平移、旋转、反射之间的关系 165

2.6 自对称图形 173

3 相似变换 177

3.1 相似变换及其性质 177

3.2 位似变换 179

4 反演变换 188

4.1 反演变换及其性质 188

4.2 极点与极线 203

习题三 205

第四章 几何轨迹 208

1 轨迹的有关概念 208

1.1 轨迹的意义 208

1.2 轨迹基本定理 212

1.3 三种类型的轨迹题 213

2.1 描迹法 220

2 用综合法探求点的轨迹 220

2.2 几何变换法 226

2.3 条件代换法 229

3 用解析法探求点的轨迹 237

习题四 244

第五章 几何作图 247

1 几何作图基本知识 247

1.1 作图工具与作图公法 247

1.2 作图成法 248

1.3 作图题的条件与分类 249

1.4 解作图题的步骤 250

2 常用的作图方法 252

2.1 交轨法 252

2.2 三角形奠基法 257

2.3 变位法 260

2.4 位似法 264

2.5 反演法 266

2.6 代数法 268

3 尺规作图可能性的判断准则 273

3.1 尺规作图的充分必要条件 273

3.2 三次方程的根能否尺规作图的判定 275

3.3 三大尺规作图不能问题 276

3.4 尺规作图不能问题的判别方法 277

习题五 280

第六章 立体几何 283

1 点、直线、平面 284

2 简单多面体的欧拉公式 294

3 面积与体积 301

3.1 面积概念 301

3.2 体积概念 303

3.3 拟柱体与辛普生公式 306

4.1 分解拼补法 314

4 立体几何证题法 314

4.2 命题转换法 316

4.3 类比法 319

4.4 体积法 323

4.5 向量法 323

5 四面体的度量公式 326

6 多面角的概念与球面多边形的面积 332

习题六 337

第七章 球面几何 342

1 距离、线段、角 342

2 球面三角 350

3 对偶原则 356

4 图形相等与椭圆运动 361

习题七 364

第八章 双曲几何 367

1 距离、线段、角 370

2 双曲三角 379

3 图形相等与双曲运动 386

4 双曲几何模型 391

4.1 克莱因模型 391

4.2 庞卡莱模型 395

习题八 400

第九章 n 维欧氏几何简介 403

1 距离、线段、凸集、变换 404

2 超平面、凸多胞形 409

3 单形的体积 413

4 关于单形的射影定理、余弦定理和正弦定理 422

5 关于单形的几何不等式 427

6 重心坐标 432

习题九 440

习题答案和提示 443