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第四篇 复变函数与积分变换 1

第一章 复数与复变函数 1

1.1 复数 1

1.2 区域 6

1.3 复变函数 7

习题1 9

第二章 解析函数 11

2.1 解析函数的概念 11

2.2 柯西—黎曼方程 12

2.3 解析函数和调和函数的关系 14

2.4 初等函数 15

习题2 18

第三章 复变函数的积分 20

3.1 复积分的概念 20

3.2 柯西积分定理 22

3.3 原函数 24

3.4 柯西积分公式 25

3.5 解析函数的高阶导数 26

习题3 27

第四章 解析函数的级数表示 29

4.1 复数项级数 29

4.2 复变函数项级数 30

4.3 泰勒级数 33

4.4 罗朗级数 36

习题4 39

第五章 留数及其应用 40

5.1 零点与孤立奇点 40

5.2 留数 43

5.3 利用留数计算定积分 47

5.4 辐角原理及其应用 50

习题5 53

6.1 保角映射的概念 55

第六章 保角映射 55

6.2 保角映射的基本问题 56

6.3 分式线性映射 57

6.4 几个初等函数所构成的映射 62

6.5 多角形映照公式 65

习题6 67

第七章 解析函数在平面场的应用 68

7.1 复势的概念 68

7.2 复势的应用 71

7.3 用保角映射的方法研究平面场 74

习题7 75

8.1 傅里叶变换 77

第八章 积分变换 77

8.2 拉普拉斯变换 89

习题8 99

附录Ⅰ 傅氏变换简表 103

附录Ⅱ 拉氏变换简表 107

第五篇 数学物理方程与特殊函数 110

第一章 典型方程与定解条件 110

1.1 弦振动方程与定解条件 110

1.2 热传导方程与定解条件 113

1.4 基本概念与定解问题 116

1.3 拉普拉斯方程与定解条件 116

习题1 118

第二章 分离变量法 120

2.1 有界弦的自由振动 120

2.2 有限长杆的热传导问题 124

2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题 127

2.4 非齐次方程的求解问题 131

2.5 具有非齐次边界条件的问题 137

习题2 141

第三章 行波法与积分变换法 144

3.1 达朗贝尔(D'Alembert)公式 波的传播 144

3.2 高维波动方程的初值问题 148

3.3 积分变换法 151

习题3 155

第四章 格林函数法 157

4.1 格林公式及其应用 157

4.2 格林函数 161

4.3 格林函数的应用 163

4.4 试探法 泊松方程求解 167

习题4 169

第五章 贝塞尔函数 171

5.1 贝塞尔方程及贝塞尔函数 171

5.2 贝塞尔函数的递推公式 175

5.3 按贝塞尔函数展开为级数 177

5.4 贝塞尔函数的应用 179

习题5 181

第六章 勒让德多项式 186

6.1 勒让德方程及其求解 186

6.2 勒让德多项式 188

6.3 勒让德多项式的母函数及递推公式 191

6.4 函数按勒让德多项式展为级数法 192

习题6 197

习题解答 198