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第1章 绪论 1

1.1 现代科学体系结构 1

1.2 自然世界、科学和数学世界及计算机世界 3

1.3 初等数学、高等数学和现代数学 5

1.4 基本术语 6

第2章 实数集合及映射 10

2.1 对实数集合的一般认识 10

2.2 实数集合的拓扑结构和完备性 12

2.2.1 实数集合的拓扑结构 12

2.2.2 实数集合完备性的类比作用 15

2.3 实数集合的映射 17

2.4 实数集合的测度 18

2.5 可测函数的勒贝格积分 20

思考题 31

第3章 n维欧式空间Rn及映射 36

3.1 Rn的拓扑结构 37

3.1.1 Rn是完备距离空间 37

3.1.2 Rn中距离函数举例 37

3.2 Rn的代数结构 39

3.2.1 Rn是完备线性空间 39

3.2.2 Rn是完备线性赋范空间 40

3.2.3 Rn是完备内积空间 42

3.3 Rn空间的映射 52

3.3.1 Rn和Rm之间的非线性映射 52

3.3.2 Rn到Rm的线性映射 53

3.3.3 Rn到Rm（m=n）的同构线性映射 53

3.3.4 Rn到Rm（m＞n）映射过定线性方程组 62

3.3.5 Rn到Rm（m＜n）的映射欠定线性方程组 66

3.3.6 Rn到Rm映射的一般情况 69

思考题 71

第4章 抽象空间 82

4.1 测度无限函数空间 82

4.1.1 测度无限p幂可积函数空间Lp,p≥1 82

4.1.2 L1空间和L∞空间 84

4.1.3 L2空间 86

4.1.4 L1∩L2空间 87

4.2 测度有限函数空间 90

4.2.1 测度有限p幂可积函数空间Lp[0,2π],p≥1 90

4.2.2 L2［0,2π］函数空间 91

4.3 有界数列空间 100

4.3.1 p幂可和无限数列空间lp,1≤p＜+∞ 100

4.3.2 平方可和数列空间l2 102

4.3.3 离散时间数列的傅里叶变换 104

4.4 发散函数空间和发散数列空间 107

思考题 108

第5章 抽象空间映射 112

5.1 线性映射 113

5.2 有界线性算子和有界线性算子空间 114

5.2.1 有界线性算子和有界线性算子空间定义 114

5.2.2 有界线性算子范数 115

5.2.3 有界线性算子加法、乘法及算子序列收敛性 116

5.2.4 有界线性算子的逆运算 118

5.3 有界线性泛函与共轭空间 121

5.3.1 有界线性泛函与共轭空间定义 121

5.3.2 有界线性泛函的延拓 122

5.3.3 重要线性赋范空间上的有界线性泛函和共轭空间 123

5.3.4 有界线性泛函和共轭空间的一般形式及二次共轭 126

5.4 有界线性算子的共轭算子 127

5.4.1 共轭算子的定义和一般性质 127

5.4.2 重要线性赋范空间有界线性算子和共轭算子 129

5.5 积分变换与级数变换 133

5.5.1 积分变换和级数变换的一般形式 134

5.5.2 傅里叶积分变换 135

5.5.3 傅里叶级数变换 135

5.5.4 卷积积分变换 138

5.5.5 相关积分变换 143

5.5.6 连续积分小波变换及小波级数展开 148

5.5.7 线性系统分类 153

思考题 155

第6章 概率基础及随机向量 164

6.1 概率空间定义 164

6.2 随机变量及其概率分布 166

6.2.1 随机变量 166

6.2.2 随机变量概率分布 166

6.2.3 随机变量的数字表征 173

6.2.4 相关系数和协方差 174

6.2.5 随机变量独立、不相关与正交 176

6.3 随机向量和随机过程 180

6.3.1 随机向量的概率密度、一阶矩和二阶矩 182

6.3.2 随机向量去相关和协方差矩阵对角化 185

6.3.3 随机向量、均值向量和协方差矩阵的估值 188

6.3.4 随机过程的相关函数和协方差函数 189

6.3.5 平稳随机过程 191

6.3.6 各态历经平稳随机过程 194

6.3.7 非平稳随机过程的功谱密度函数 196

6.3.8 高斯随机过程 196

6.3.9 白噪声过程和高斯白噪声过程 198

6.3.10 随机过程分类 200

6.4 正规方程和线性最小二乘估值 201

6.4.1 正规方程及最小二乘解 202

6.4.2 线性最小二乘（均方）逼近 203

6.4.3 线性最小二乘（均方）估值 204

6.4.4 时间序列的AR模型和ARMA模型——正规方程的一种应用 208

思考题 212

后记 217

参考文献 220