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第1篇 复变函数 3

第1章 复变函数及其导数与积分 3

1.1引言 3

1.2复数与复变函数 5

1.2.1复数 5

1.2.2复平面 5

1.2.3复数加法的几何表示 7

1.2.4复平面上的点集 8

1.2.5复变函数 10

1.3复变函数的极限与连续 13

1.4复球面与无穷远点 13

1.4.1扩充复平面 13

1.4.2无穷大极限 14

1.5解析函数 15

1.5.1复变函数的导数与微分 15

1.5.2解析函数的概念及其简单性质 16

1.5.3柯西-黎曼条件 17

1.6复变函数的积分 21

1.6.1复变函数积分的概念与计算 21

1.6.2复变函数积分的简单性质 22

1.6.3柯西积分定理及其推广 23

1.6.4柯西积分公式及其推论 25

习题1 30

第2章 复变函数的幂级数 34

2.1复数序列和复数项级数 34

2.1.1复数序列及其收敛性 34

2.1.2复数项级数及其收敛性 35

2.1.3复数项级数的绝对收敛性 36

2.2复变函数项级数和复变函数序列 36

2.3幂级数 39

2.4幂级数和函数的解析性 42

2.5解析函数的泰勒展开式 43

2.6解析函数零点的孤立性及唯一性定理 46

2.7解析函数的洛朗级数展开式 47

2.7.1洛朗级数 47

2.7.2解析函数的洛朗展开式 48

2.7.3洛朗级数与泰勒级数的关系 50

2.7.4解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展开式 51

2.8解析函数的孤立奇点及其分类 54

2.8.1可去奇点 54

2.8.2极点 54

2.8.3本性奇点 55

2.8.4复变函数的零点与极点的关系 55

2.8.5复变函数在无穷远点的性态 56

习题2 57

第3章 留数及其应用 61

3.1留数与留数定理 61

3.2留数的计算 62

3.2.1一级极点的情形 62

3.2.2高级极点的情形 62

3.3无穷远点处的留数 64

3.4留数在定积分计算中的应用 66

3.4.1形如∫ 2π 0 R（cosθ， sinθ） dθ的积分 67

3.4.2形如（x）dx的积分 68

3.4.3形如∫+∞ -∞ P（x）/Q（x）eimr dx的积分 69

3.5复变函数在物理中的应用简介 72

3.5.1解析函数的物理解释 72

3.5.2两种特殊区域上解析函数的实部和虚部的关系 泊松积分公式 73

习题3 75

第2篇 数学物理方法 81

第4章 数学物理方程及其定解条件 81

4.1数学物理基本方程的建立 81

4.1.1波动方程 81

4.1.2热传导方程和扩散方程 87

4.1.3泊松方程和拉普拉斯方程 90

4.1.4亥姆霍兹方程 91

4.2定解条件 92

4.2.1初始条件 93

4.2.2边界条件 93

4.3定解问题的提法 96

4.4二阶线性偏微分方程的分类与化简 解的叠加原理 96

4.4.1含有两个自变量二阶线性偏微分方程的分类与化简 96

4.4.2线性偏微分方程的叠加原理 102

习题4 103

第5章 分离变量法 110

5.1 （1+1）维齐次方程的分离变量法 110

5.1.1有界弦的自由振动 110

5.1.2有限长杆上的热传导 118

5.2二维拉普拉斯方程的定解问题 123

5.3非齐次方程的解法 129

5.4非齐次边界条件的处理 136

习题5 141

第6章 二阶常微分方程的级数解法 本征值问题 151

6.1二阶常微分方程的级数解法 151

6.1.1常点邻域内的级数解法 151

6.1.2勒让德方程的级数解 153

6.1.3正则奇点和非正则奇点附近的级数解 157

6.1.4贝塞尔方程的级数解 159

6.2施图姆-刘维尔本征值问题 164

6.2.1施图姆-刘维尔方程 164

6.2.2本征值问题的一般提法 166

6.2.3本征值问题的一般性质 167

习题6 169

第7章 贝塞尔函数及其应用 178

7.1贝塞尔方程的引入 178

7.2贝塞尔函数的性质 180

7.2.1贝塞尔函数的基本形态及本征值问题 180

7.2.2贝塞尔函数的递推公式 182

7.2.3贝塞尔函数的正交性和模方 185

7.2.4按贝塞尔函数的广义傅里叶级数展开 186

7.3贝塞尔函数在定解问题中的应用 188

7.4修正贝塞尔函数 193

7.4.1第一类修正贝塞尔函数 193

7.4.2第二类修正贝塞尔函数 194

7.5可化为贝塞尔方程的方程 198

7.5.1开尔文方程 198

7.5.2其他例子 198

7.5.3含贝塞尔函数的积分 199

习题7 200

第8章 勒让德多项式及其应用 211

8.1勒让德方程与勒让德多项式的引入 211

8.2勒让德多项式的性质 214

8.2.1勒让德多项式的微分表示 214

8.2.2勒让德多项式的积分表示 216

8.2.3勒让德多项式的母函数 216

8.2.4勒让德多项式的递推公式 218

8.2.5勒让德多项式的正交归一性 219

8.2.6按Pn （x）的广义傅里叶级数展开 220

8.2.7一个重要公式 221

8.3勒让德多项式的应用 221

8.4关联勒让德多项式 226

8.4.1关联勒让德函数的微分表示 227

8.4.2关联勒让德函数的积分表示 227

8.4.3关联勒让德函数的正交性与模方 227

8.4.4按Pn（x）的广义级数展开 228

8.4.5关联勒让德函数的递推公式 228

8.5其他特殊函数方程简介 230

8.5.1埃尔米特多项式 231

8.5.2拉盖尔多项式 232

习题8 233

第9章 行波法与积分变换法 240

9.1一维波动方程的达朗贝尔公式 240

9.2三维波动方程的泊松公式 244

9.2.1三维波动方程的球对称解 244

9.2.2三维波动方程的泊松公式 245

9.2.3泊松公式的物理意义 248

9.3傅里叶积分变换法求解定解问题 251

9.3.1预备知识——傅里叶变换及性质 252

9.3.2傅里叶变换法 253

9.4拉普拉斯变换法求解定解问题 256

9.4.1拉普拉斯变换及其性质 256

9.4.2拉普拉斯变换法 258

习题9 262

第10章 格林函数法 273

10.1引言 273

10.2 δ函数的定义与性质 274

10.2.1 δ函数的定义 274

10.2.2广义函数的导数 275

10.2.3 δ函数的傅里叶变换 276

10.2.4高维δ函数 277

10.3泊松方程的边值问题 277

10.3.1格林公式 277

10.3.2解的积分形式——格林函数法 278

10.3.3格林函数关于源点和场点是对称的 281

10.4格林函数的一般求法 282

10.4.1无界区域的格林函数 282

10.4.2用本征函数展开法求边值问题的格林函数 284

10.5用电像法求某些特殊区域的狄利克雷-格林函数 285

10.5.1泊松方程的狄利克雷-格林函数及其物理意义 285

10.5.2用电像法求格林函数 287

习题10 290

附录A正交曲线坐标系中的拉普拉斯算符 294

附录B Γ函数的定义和基本性质 300

附录C通过计算留数求拉普拉斯变换的反演 301

附录D傅里叶变换和拉普拉斯变换简表 303

参考文献 308