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第1章 向量和矩阵的有关概念 1

1.1 向量的内积和正交 1

1.1.1　线性空间、子空间 1

1.1.2　向量内积、模和正交 1

1.1.3　广义内积、广义模和广义正交 2

1.2　向量的Gram-Schmidt正交化方法 3

1.2.1　标准G-S正交化方法 3

1.2.2　修正的G-S正交化方法 5

1.3　矩阵范数、谱半径、矩阵函数 6

1.3.1　矩阵范数 6

1.3.2　矩阵的谱半径 7

1.3.3　初等矩阵函数 7

1.4.1　常用特殊矩阵 9

1.4　酉变换和正交变换 9

1.4.2　酉变换和正交变换 10

1.4.3　Househoder正交变换 10

1.4.4　Givens正交变换 13

1.5　矩阵分解 15

1.5.1　矩阵的三角分解 15

1.5.2　矩阵的QR分解 16

第2章　特征问题的有关性质 20

2.1　标准特征问题及其基本性质 20

2.1.1　标准特征问题 20

2.1.2　标准特征问题的基本性质 21

2.2　广义特征问题及其性质 24

2.2.1　广义特征问题化为标准特征问题的方法 24

2.2.2　广义特征向量的正交性 26

2.2.4　关于质量矩阵 27

2.2.3　广义特征问题的展开定理 27

2.3　Rayleigh商及其性质 29

2.3.1　Rayleigh商的定义及其性质 29

2.3.2　Rayleigh商的误差分析 31

2.4　特征值与约束有关的特性 32

2.4.1　约束在矩阵上的表现和移位方法 32

2.4.2　特征值与约束有关的分隔定理 34

2.5　Sturm（斯图姆）定理 35

2.5.1　sturm序列和sturm定理 35

2.5.2　实用的Sturm定理 37

第3章　特征问题的基本求解方法 39

3.1　向量反迭代法 39

3.1.1　基本向量反迭代法 39

3.1.2　加速向量反迭代法 42

3.1.3　高阶特征解的向量反迭代法 45

3.1.4　多个向量的同时反迭代法 47

3.2　Jacobi法 49

3.2.1　标准Jacobi法 49

3.2.2　广义Jacobi法 54

3.3　QR法 58

3.3.1　对称三对角矩阵的QR法 59

3.3.2　上Hessenberg矩阵的QR法 62

3.4　基于Sturm定理的二分法 65

3.5　Rayleigh-Ritz分析法（简称R-R法） 67

3.5.1　R-R法基本思想与公式推导 67

3.5.2　R-R法的具体计算步骤 68

3.5.3　R-R法的精度分析 69

3.5.4　求特征解基本方法小结 72

3.6.1　标准特征问题Ax＝λx的误差估计 73

3.6　近似特征解的误差估计 73

3.6.2　广义特征问题Kφ＝λMφ的误差估计 75

第4章　大型工程特征问题的实用解法 77

4.1　子空间迭代法 77

4.1.1 基本思想与迭代过程 77

4.1.2　初始迭代向量的确定 80

4.1.3　迭代步骤与优缺点分析 82

4.2　截断Lanczos法 83

4.2.1　基本思想与迭代过程 83

4.2.2　截断误差和迭代次数的确定 87

4.2.3　重正交化与第一个Lanczos向量的选取 90

4.2.4　L法优缺点分析与迭代步骤 94

4.3　两种改进的Lanczos法 96

4.3.1　逐个加入初始向量的Ritz向量法 96

4.3.2　带Lanczos法（块Lanczos法） 98

4.4　分模态综合法简介 100

第5章　二次特征问题的常用求解方法 105

5.1　二次特征问题的有关特性 105

5.1.1　二次特征问题在状态空间线性化 105

5.1.2　二次特征问题的左、右特征向量的正交性 107

5.1.3　二次特征问题的广义Rayleigh商 107

5.2　二次特征问题的基本解法简介 107

5.2.1　广义向量反迭代法 108

5.2.2　广义同时反迭代法 108

5.2.3　广义R-R法 109

5.3　大型二次特征问题常用解法 109

5.3.1　广义Lanczos法 109

5.3.2　用于无阻尼回转系统的广义Lanczos法 112

5.3.3　广义反迭代法 114

第6章　离散系统动力响应的常用求解方法 118

6.1　阻尼矩阵的形成 118

6.2　振型叠加法 120

6.2.1　主模态分析 120

6.2.2　模态位移法 122

6.2.3　模态加速度法 124

6.3　Ritz向量直接叠加法 128

6.3.1　Ritz向量直接叠加法 129

6.3.2　Lanczos向量直接叠加法 130

6.3.3　子空间载荷响应的直接叠加法 131

6.4　Newmark和Wilson-θ直接积分法 134

6.4.1　Newmark法 134

6.4.2　Wilson-θ法 138

6.4.3　Newmark法、Wilson-θ法与精确解的对比 142

6.5　精细时程积分法简介 144

6.5.1　动力方程的正规化 144

6.5.2　齐次方程的精细积分公式 145

6.5.3　指数矩阵T的精细计算过程 145

6.5.4　非齐次方程精细积分公式 146

6.5.5　精细积分法的精度分析 147

习题 149

附录：直接积分法求动力响应算例程序 154

1　Newmark法求响应程序 154

2　Wilson-θ法求响应程序 155

3　精细积分法求响应程序 155

4　精确解与3种方法结果的精度比较程序 156

参考文献 158