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有理数的概念 1

绝对值 1

实数 1

一、有理数 1

有理数的运算 2

近似数及有效数字 3

无理数的概念 5

二、无理数 5

刘徽 7

四、相关知识链接 7

三、实数的概念 7

实数 7

程大位 8

中国是最早使用负数的国家 9

中国数学史 10

无理数的由来 10

代数式的概念 17

一、代数式 17

代数式及其运算 17

多项式 18

单项式 18

加减运算 19

二、整式的加减乘除 19

代数式的运算 19

除法运算 20

乘法运算 20

因式分解的方法 21

因式分解的概念 21

三、因式分解 21

分式的概念及性质 22

四、分式 22

杨辉 23

五、相关知识链接 23

分式的运算 23

陈景润 24

中国数学奥林匹克 25

歌德巴赫猜想 25

巴比伦数学 26

解方程 28

方程的概念 28

方程 28

一、一元一次方程 28

二元一次方程组的解法 29

二元一次方程组的概念 29

方程同解原理 29

二、二元一次方程组 29

三元一次方程组 30

多元方程 30

配方法解一元二次方程 31

因式分解法解一元二次方程 31

三、一元二次方程 31

一元二次方程的概念 31

一元二次方程根与系数的关系 32

公式法解一元二次方程 32

分式方程的解法 33

分式方程的概念 33

代数基本定理 33

四、分式方程 33

验根 34

代数方程 34

五、代数方程 34

二元二次方程组 35

二元二次方程 35

超越方程 35

六、二元二次方程组 35

二元二次方程组的解法 36

二元线性方程组的行列式解法 37

二阶行列式 37

七、行列式 37

三阶行列式 38

代数余子式 39

三阶行列式的性质 39

三元线性方程组的行列式解法 40

关于代数 41

八、相关知识链接 41

三元齐次线性方程组 41

关于中国古代的一次方程组 42

阿贝尔 44

中国古代的一个一元二次方程 44

韦达 45

丢番图 46

华罗庚 46

角 47

直线的基本性质 47

平面几何知识 47

一、基本概念 47

几何学 47

垂线 48

对顶角 48

角的平分线 48

三角形的分类 49

多边形的内角和定理 49

点到直线的距离 49

等腰三角形 49

二、三角形 49

多边形 49

勾股定理 50

三角形的性质 50

三角形的角平分线、高线、中线 52

三角形的垂心、重心、内心、外心、旁心 53

等腰三角形的性质 54

全等三角形的判定 54

全等三角形 54

轴对称的性质 55

轴对称 55

线段的垂直平分线 55

平行线的性质 56

平行公理 56

三、平行线 56

同位角、内错角、同旁内角 56

平行线 56

两平行线的公垂线 56

平行四边形的判定及性质 57

四、平行四边形 57

平行线的判定方法 57

中心对称图形 58

正方形的判定及性质 58

矩形的判定及性质 58

菱形的判定及性质 58

直角梯形 59

等腰梯形 59

五、梯形 59

梯形 59

平行线分线段成比例定理 60

四边形的分类 60

比例的性质 61

成比例线段 61

平行线等分线段定理 61

六、相似形 61

相似三角形的判定 62

相似三角形 62

黄金分割 62

圆的基本概念 63

七、圆 63

相似三角形的性质 63

点的轨迹 64

圆的相关性质 64

多边形的外接圆 65

弓形的面积公式 65

圆周长公式 65

弧长公式 65

圆的面积公式 65

扇形的面积公式 65

正多边形的外接圆和内切圆 66

多边形的内切圆 66

两圆的位置关系 67

圆的切线的判定和性质 67

直线和圆的位置关系 67

切线长定理 68

两圆的公切线 68

卜拉美古塔定理 69

垂径定理 69

弦切角定理 69

相交弦定理 69

切割线定理 69

中国古代有关三角的一些研究 70

八、相关知识链接 70

托勒密定理 70

梅涅劳定理 70

塞瓦定理 70

西摩松线 70

关于圆周率π 71

徐光启 73

祖冲之 74

欧几里得 74

泰勒斯 75

希尔伯特 76

十六、十七世纪数学 77

集合 80

一、集合与集合的运算 80

集合与简易逻辑 80

集合的分类 81

集合的表示方法 81

集合与集合的关系 82

有限集合的子集个数公式 83

集合的运算性质 83

逻辑联结词 84

命题 84

二、逻辑联结词与四种命题 84

复合命题的真值表 85

四种命题 86

开语句 86

反证法 87

逻辑等价 87

四种命题的关系 87

充分条件与必要条件 88

三、充要条件 88

罗素悖论 89

康托 89

四、相关知识链接 89

十九世纪数学 90

对应 95

一、函数 95

函数 95

映射 96

函数 97

常量与变量 97

一一映射 97

逆映射 97

函数的图象 98

平面直角坐标系 98

一元函数 99

常函数 99

同一函数 99

区间 99

反比例函数 100

正比例函数 100

二元函数 100

多元函数 100

二次函数 101

一次函数 101

函数的表示方法 102

分段函数 102

单调区间 103

函数的单调性 103

增函数 103

减函数 103

偶函数 104

复合函数的单调性 104

复合函数 104

反函数的性质 105

反函数 105

奇函数 105

函数图象的作法 106

根式 107

二、指数与指数函数 107

指数的运算性质 108

指数 108

指数函数的图象及性质 109

指数函数 109

对数的基本性质 110

自然对数 110

三、对数与对数函数 110

对数 110

常用对数 110

对数函数的图象和性质 111

对数函数 111

对数的运算性质 111

对数的换底公式 111

指数、对数方程 112

笛卡尔 113

陈建功 113

四、相关知识链接 113

传染病传播 114

数列 116

一、数列 116

数列 116

数列的表示方法 117

数列的通项公式 117

数列的分类 118

等差数列的概念 119

二、等差数列 119

递推公式 119

数列的前n项和 119

等差中项 120

等差数列的求和 120

等差数列的通项公式 120

等差数列的性质 121

等比数列的求和 122

等比数列的增减性 122

三、等比数列 122

等比数列的概念 122

等比数列的通项公式 122

等比数列的性质 123

等比中项 123

常用数列求和方法 124

等差数列、等比数列的判定方法 124

斐波那契 125

四、相关知识链接 125

老鼠的繁殖问题 126

植树造林绿化环境问题 127

用优惠券购书 128

分期付款问题 130

弧度制 132

任意角的概念 132

三角函数 132

一、任意角的三角函数 132

任意角的三角函数 133

弧长公式 133

三角函数线 134

正弦、余弦、正切的诱导公式 135

同角三角函数的关系式 135

三角函数值的符号 135

两角和与差的正弦、余弦、正切 137

二、两角和与差的三角函数 137

和差化积、积化和差公式 138

二倍角、半角的正弦、余弦、正切 138

三角函数的图象 139

三、三角函数的图象和性质 139

三角函数的周期 141

周期函数 141

正弦函数、余弦函数的性质 142

正切函数、余切函数的性质 143

函数y=Asin（ωx+？）的图象和性质 144

戴煦 145

明安图 145

四、相关知识链接 145

中国发展数学的重要计划 146

零向量 148

向量的模 148

平面向量 148

一、向量及其运算 148

向量 148

向量的加法 149

相反向量 149

单位向量 149

自由向量 149

平行向量 149

相等向量 149

向量的减法 150

实数与向量的积 151

平面向量的数量积 152

两点间的距离公式 153

平面向量的垂直 153

平面向量基本定理 153

平面向量的平行 153

线段的定比分点 154

平移 155

正弦定理 156

解斜三角形 156

二、解三角形 156

解直角三角形 156

三角形的面积公式 157

余弦定理 157

人造地球卫星的运行问题 158

三、相关知识链接 158

通讯网络 159

一元一次不等式组 161

一元一次不等式 161

不等式 161

一、不等式及其性质 161

不等式 161

不等式的性质 162

无理不等式 162

一元二次不等式 162

一元二次不等式组 162

绝对值不等式 162

分式不等式 162

算术平均数与几何平均数 163

二、不等式的证明 163

常用基本不等式 164

不等式的证明方法 165

绝对值不等式的性质 165

柯西不等式 165

不等式的同解原理 166

三、不等式的解法 166

一元二次不等式的解法 167

一元一次不等式的解法 167

分式不等式的解法 168

简单的高次不等式的解法 168

含绝对值的不等式的解法 169

无理不等式的解法 169

柯西 170

四、相关知识链接 170

人口与耕地问题 171

库存 172

蔬菜运输方式的选择 173

直线的斜率 177

直线的倾斜角 177

直线和圆的方程 177

一、直线的方程 177

直线方程的形式 178

直线的方程 178

直线的方向向量 178

两条直线位置关系的判定方法 180

垂直 180

法向量 180

二、两条直线的位置关系 180

平行 180

两直线的夹角 181

点到直线的距离 182

直线系 182

两直线的交点 182

二元一次不等式表示的平面区域 183

三、简单的线性规划 183

线性规划 184

曲线和方程 185

四、圆 185

求曲线的方程 186

圆的标准方程 187

解析几何 187

曲线的交点 187

确定圆的方程的方法 188

直线和圆的位置关系 189

普通方程 189

参数方程 189

圆的参数方程 189

圆的切线方程的求法 190

两圆的位置关系 190

圆的弦长的求法 191

数学发展简史 192

五、相关知识链接 192

圆系方程 192

台风预报 200

椭圆的定义 201

一、椭圆 201

圆锥曲线方程 201

椭圆的参数方程 202

椭圆的标准方程及几何性质 202

椭圆的通径 203

椭圆的焦点弦 203

椭圆的焦半径 203

椭圆的焦准距 203

双曲线的定义 204

二、双曲线 204

双曲线的标准方程及几何性质 205

双曲线的渐近线的特征与求法 206

双曲线的通径 206

双曲线的焦半径 206

抛物线的定义 207

三、抛物线 207

双曲线系 207

共轭双曲线 207

抛物线的焦点弦 208

抛物线的焦半径 208

抛物线的标准方程及几何性质 208

直线与圆锥曲线的位置关系 209

圆锥曲线的统一定义 209

四、圆锥曲线 209

秦九韶 210

五、相关知识链接 210

李善兰 211

预测水位上涨 212

生态平衡问题 212

平面 215

空间多边形 215

直线平面简单几何体 215

一、空间的直线和平面 215

几何 215

空间图形 215

立体几何 215

平面的基本性质 216

空间图形在平面内的表示方法 218

等角定理 219

空间的直线 219

异面直线所成的角 220

异面直线 220

空间图形的平移 220

空间的直线和平面平行 221

空间直线和平面的位置关系 221

直线与平面垂直 222

空间的平面与平面平行 222

三垂线定理的逆定理 223

三垂线定理 223

空间向量 224

二、空间向量 224

平面与平面垂直 224

共线向量 225

平行六面体 225

相等的空间向量 225

空间向量的运算 225

基向量 226

基底 226

空间直线的向量参数表示式 226

共面向量 226

向量的数量积 227

向量的垂直 227

空间向量基本定理 227

向量的长度 227

空间直角坐标系 228

单位正交基底 228

向量的正射影 228

用向量解几何题的一般方法 228

向量的直角坐标运算 229

点在空间直角坐标系中的坐标 229

右手直角坐标系 229

向量a的坐标 229

空间两点间的距离公式 230

向量的夹角公式 230

法向量 230

平面的斜线与平面所成的角 231

三、夹角和距离 231

直二面角 232

二面角的平面角 232

二面角 232

直线到平面的距离 233

点到直线的距离 233

图形与图形的距离 233

点与点间的距离 233

点到平面的距离 233

多面体 234

四、简单多面体与球 234

两平行平面的距离 234

异面直线的距离 234

棱柱 235

凸多面体 235

正方体 236

长方体 236

棱柱的性质 236

棱锥的性质 237

棱锥 237

棱台 238

祖暅原理 238

正棱台 239

正多面体 240

欧拉定理 241

简单多面体 241

正多面体的性质的应用 241

球的表面积公式 242

球的体积公式 242

拓扑学 242

球面 242

球体 242

大圆、小圆 242

球的性质 242

祖暅 243

五、相关知识链接 243

球面距离 243

欧氏几何与非欧几何 244

阿基米德 244

罐头盒的设计问题 248

测量降雨量 248

排列数 250

排列 250

排列、组合和二项式定理 250

一、排列与组合 250

分类计数原理与分步计数原理 250

组合数 251

组合 251

全排列 251

阶乘 251

二项式定理 252

二、二项式定理 252

相异元素可以重复的排列数公式 252

二项式系数的性质 253

二项展开式的性质 253

欧拉 254

汪莱 254

三、相关知识链接 254

阿拉伯数学 256

足球甲A联赛 256

随机现象 259

确定性现象 259

概率与统计 259

一、概率 259

概率论 259

事件A的概率 260

频率 260

必然事件 260

不可能事件 260

随机事件 260

等可能事件的概率 261

基本事件 261

互斥事件有一个发生的概率 262

互斥事件 262

对立事件的概率 263

对立事件 263

独立重复试验的概率 264

独立重复试验 264

相互独立事件 264

相互独立事件同时发生的概率 264

随机变量 265

二、随机变量 265

概率的和与积的互补公式 265

大数定律 265

离散型随机变量的分布列 266

连续型随机变量 266

离散型随机变量 266

期望 267

二项分布 267

随机变量的方差 268

一组数据的方差 268

统计学 269

三、统计 269

极差 269

标准差 269

方差与标准差的性质 269

平均数 270

抽样 270

总体、个体和样本 270

众数 271

加权平均数 271

总体平均数 271

变异系数 272

平均差 272

中位数 272

随机数表法 273

抽签法 273

简单随机抽样 273

分层抽样 274

系统抽样 274

总体分布的估计 275

不放回抽样 275

简单随机抽样、系统抽样与分层抽样的区别与联系 275

放回抽样 275

频率分布条形图 276

频率分布表 276

频率分布直方图 277

累积频率 277

组距 277

总体密度曲线 279

总体分布 279

累积频率分布图 279

正态曲线 280

正态分布 280

标准正态曲线 281

标准正态总体 281

线性回归 282

一般正态总体与标准正态总体的转化 282

回归直线方程 283

样本相关系数 284

费马 285

泊松 285

四、相关知识链接 285

“彩票”的中奖率 286

掷骰子游戏 286

数学归纳法 288

特殊命题和一般命题 288

极限 288

一、数学归纳法 288

杨辉三角 289

完全归纳法 289

不完全归纳法 289

数列极限的四则运算 290

数列极限的性质 290

二、极限 290

数列的极限 290

函数的极限 291

函数的极限的性质 292

函数的右极限 292

函数的单侧极限 292

函数的左极限 292

两个重要的极限 293

函数极限的四则运算 293

最大值最小值定理 294

函数的连续性 294

戴德金 295

三、相关知识链接 295

间断点 295

达朗贝尔 296

求和的困惑 297

求函数导数的方法 298

导数的概念 298

导数与微分 298

一、导数 298

导数的几何意义 299

导函数 299

函数的和、差、积、商的导数 300

几种常见函数的导数 300

二阶导数 301

对数求导法 301

反函数的导数 301

复合函数的导数 302

导数的莱布尼兹符号 302

三阶导数 302

n阶导数 302

高阶导数 302

判断函数的单调性 303

二、导数的应用 303

对数函数与指数函数的导数 303

求函数的最大值与最小值 304

求函数的极值 304

判定曲线凹性的方法 305

曲线拐点的求法 306

拐点 306

微分 307

三、微分 307

渐近线 307

原函数 307

复合函数的微分 308

中值定理 309

洛必达法则 310

牛顿 311

四、相关知识链接 311

帕斯卡 312

莱布尼茨 312

十八世纪数学 313

复数 316

虚数单位 316

复数 316

一、复数的概念 316

复数的除法 317

复数的乘法 317

两个复数相等 317

共轭复数 317

复数集 317

二、复数的代数运算 317

复数的加法与减法 317

复平面 318

三、复数的向量表示 318

复数的开方 318

复数加法的几何意义 319

复数的模 319

复数的运算性质 320

复数减法的几何意义 320

复数的指数形式 321

棣美佛定理 321

四、复数的三角形式 321

复数的幅角 321

复数的三角形式 321

18个21世纪的重大数学问题 322

五、相关知识链接 322

国际数学奥林匹克 324

用配方法求函数的值域 326

一、基本解题方法 326

解题方法与技巧 326

用配方法解决平面几何问题 327

用配方法求函数的最大值、最小值 327

用待定系数法求曲线的方程问题 328

用待定系数法解决方程的曲线问题 328

用两点间的距离解决最小值问题 328

用构造法解决二项式系数问题 329

用构造法解决函数问题 329

用构造法解决不等式问题 330

用构造法解决平面几何问题 330

用列举法解决与自然数有关的问题 331

用列举法解决集合问题 331

用列举法解决排列、组合问题 332

用列举法解决计数问题 332

用递推法解决比较大小问题 333

用递推法解决数列的通项问题 333

用递推法求极限 334

用递推法解决平面几何问题 335

用综合法解决三角形问题 336

用综合法解决计数问题 336

用综合法解决复数问题 337

用综合法解决解析几何问题 338

用分析法解决向量问题 339

用分析法解决不等式的证明问题 339

用分析法比较大小 340

用比较法证明不等式 341

用反证法证明否定性命题 342

用反证法证明不等问题 343

用反证法证明唯一性命题 343

用反证法证明“至多”、“至少”的问题 344

用放缩法证明不等式 345

因概念分段定义引起的分类讨论 346

二、分类讨论 346

因公式分段表达引起的分类讨论 347

因所实施的运算引起的分类讨论 349

因图形位置不确定引起的分类讨论 350

因图形的形状不同引起的分类讨论 351

因字母系数参与引起的分类讨论 352

因条件不唯一引起的分类讨论 353

三、避免分类讨论的策略 354

实数绝对值的平方 355

变量分离法 355

换元法 356

集合中的数形结合 357

四、数形结合 357

方程与函数的转化 357

命题中的数形结合 358

函数中的数形结合 359

不等式中的数形结合 360

方程中的数形结合 360

数列中的数形结合 361

用数形结合解决角的问题 362

平面上的曲线问题用方程解决 363

五、转化 364

空间图形与平面图形的转化 365

换元转化 365

变量间的转化 365

三棱锥的体积计算中转换顶点 366

把几何体分割后求体积 367

通过作截面进行等积转化 367

同解转化 368

整体转化 369

利用公式的变形进行转化 369

超越方程的转化 370

利用等积转化求点到平面的距离 370

无限与有限的转化 371

命题的转化 371

用常量与变量的相对性解决问题 372

六、函数方法 372

用变量的范围决定结果 374

用极限法求函数定义域 375

用公式法求函数解析式 376

用代换法求函数解析式 377

用直接法求函数解析式 378

用归纳法求函数解析式 378

多元等式转化为一元方程 379

七、方程的方法 379

将解析式赋值转化为方程 380

用数学归纳法证明数列的通项问题 381

八、数学归纳法 381

用数学归纳法证明整除问题 382

用数学归纳法证明不等式 382

用数学归纳法证明存在性问题 383

由平行四边形的性质推平行六面体的性质 384

九、类比推理 384

由正三角形的性质推正四面体的性质 385

附录一　数学大事年表 386

费尔兹奖 402

附录二　国际国内数学大奖 402

沃尔夫数学奖 405

阿贝尔奖 408

内万林纳奖 409

华罗庚数学奖 410

附录三　本书所用符号 411