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第一章 绪论 1

1.1 旋量代数与李代数 2

1.2 有限位移旋量与李群 4

1.3 螺旋位移理论和有限位移旋量的近代发展史 5

1.4 有限位移旋量与李群的关联 7

1.5 旋量系及其关联关系理论 7

1.6 机构学与机器人学的几何与代数 9

1.7 机构与机器人的约束与柔度 11

1.8 本书概述 13

参考文献 15

第一篇 几何基础、旋量代数与李群、李代数 27

第二章 直线几何 27

2.1 点、向量和直线的坐标 27

2.1.1 位置向量和姿态向量 27

2.1.2 线矢量 28

2.1.3 Klein型与Klein二次曲面 29

2.2 直线的向量方程 30

2.3 射影几何与齐次坐标 31

2.4 平面方程与平面坐标 33

2.4.1 平面向量方程与平面坐标表示 33

2.4.2 三点确定的平面坐标 34

2.5 两点确定的直线方程及其射线形式的Plücker坐标 35

2.6 两平面交线确定的直线方程及其轴线形式的Plücker坐标 38

2.7 射线坐标与轴线坐标的固有属性与对偶性 38

2.7.1 直线坐标的参数关系 39

2.7.2 直线表示形式的对偶性 39

2.7.3 射线坐标与轴线坐标对偶定理 40

2.7.4 射线坐标与轴线坐标对偶关系 42

2.8 互矩不变性及两直线的交点 43

2.9 射影平面与四维空间的对偶性 45

2.10 直线系 46

2.10.1 线丛 46

2.10.2 线汇、线列 47

参考文献 47

第三章 旋量代数 49

3.1 旋量 49

3.1.1 旋量的概念 49

3.1.2 旋量的参数 50

3.1.3 坐标变换法则与不变量 51

3.2 旋量运算 52

3.2.1 互易积与Klein型 52

3.2.2 旋量叉积 53

3.2.3 旋量微分 54

3.2.4 Killing型 55

3.3 旋量与旋量运算的对偶数表示 56

3.3.1 对偶数、对偶向量与矩量 56

3.3.2 旋量运算的对偶数表示 57

3.4 速度旋量与Mozzi瞬轴 59

3.4.1 螺旋运动速度场 59

3.4.2 速度旋量及其李代数表示 60

3.4.3 刚体运动 62

3.4.4 串联刚体 63

3.4.5 机械臂 65

3.5 力旋量与Poinsot中心轴定理 66

3.5.1 对偶李代数se(3)元素的力旋量 66

3.5.2 Poinsot中心轴定理 66

3.5.3 力旋量参数 67

3.5.4 合成力旋量 69

3.6 几何量的向量表示 70

3.6.1 静力学与瞬时运动学的对应性 70

3.6.2 向量空间几何量的表示、特性与变换 71

3.7 互易性 72

3.8 正则旋量 73

3.9 李代数及其表示 73

3.9.1 李代数的概念 73

3.9.2 李代数伴随算子ad(X)与伴随作用 74

3.9.3 李代数的向量形式 75

3.9.4 李代数的表示 75

3.10 李运算与李括号及其等价原理 77

3.10.1 标准4×4矩阵表示的李括号 77

3.10.2 交换子与Jacobi恒等式 78

3.10.3 6×6伴随表示的李括号及其等价定理 79

参考文献 80

第四章 位移算子与指数映射 83

4.1 坐标变换 83

4.1.1 旋转变换 83

4.1.2 齐次变换 85

4.2 位移算子与坐标变换 86

4.2.1 位移算子 86

4.2.2 坐标变换与位移算子的关系 88

4.3 一般运动的仿射变换及其空间结构与群表示 89

4.4 旋转算子、旋转群SO(3)与指数映射 91

4.4.1 群公理与李群 91

4.4.2 旋转群 92

4.4.3 Euler-Rodrigues方程与so(3)到SO(3)的指数映射 93

4.5 Rodrigues参数、Rodrigues方程与Cayley方程 95

4.5.1 Rodrigues参数与平面运动的Rodrigues方程 95

4.5.2 一般运动的Rodrigues方程 96

4.5.3 旋转运动的Euler-Rodrigues方程 97

4.5.4 旋转运动的Cayley方程 98

4.6 研究旋转运动的四元数法及其与李群、李代数的关联 99

4.6.1 Hamilton四元数与共轭四元数 99

4.6.2 Euler-Rodrigues参数与Rodrigues四元数 100

4.6.3 四元数与李群、李代数 100

4.6.4 四元数形式的旋转算子与Euler-Rodrigues方程 101

4.7 研究一般运动的对偶四元数法 102

4.7.1 对偶四元数与Hamilton算子 102

4.7.2 Clifford代数 105

4.8 经典位移算子的内在关联 106

参考文献 107

第五章 SE(3)伴随作用的有限位移旋量 113

5.1 有限位移旋量算子与SE(3)的伴随表示 114

5.1.1 Chasles运动、李群SE(3)与有限位移旋量矩阵 114

5.1.2 李群伴随算子Ad(g)与伴随作用 116

5.1.3 李群SE(3)的标准表示与伴随表示以及Euler-Rodrigues运动公式 116

5.1.4 李群SE(3)元素的6×6有限位移旋量矩阵 117

5.1.5 有限位移旋量矩阵的传统分解与商群 119

5.2 有限位移旋量矩阵的Chasles分解及其几何解释 119

5.2.1 绕任意旋量轴的具有等效平移的纯旋转 119

5.2.2 沿轴线平移的矩阵形式以及有限位移旋量矩阵的Chasles分解 121

5.2.3 旋量特性变更算子 122

5.3 有限位移旋量矩阵的迹与参数 124

5.3.1 旋转角的相关迹 124

5.3.2 轴向平移的迹 124

5.4 有限位移旋量表示论 125

5.4.1 有限位移旋量矩阵的特征旋量 126

5.4.2 有限位移旋量表示法 126

5.4.3 有限位移旋量姿态表示法 127

5.5 有限位移旋量的组合运算 128

5.6 李群表示论与有限位移螺旋运动 130

5.6.1 李群表示 130

5.6.2 有限螺旋运动 131

5.7 李群运算及其对李代数se(3)的伴随作用 131

5.7.1 李群运算与共轭 131

5.7.2 基于有限位移旋量的李群对李代数伴随作用的共轭运算 132

5.7.3 对李代数se(3)向量形式的左作用 134

5.8 有限位移旋量矩阵的微分与李代数se(3)的瞬时旋量 134

5.8.1 有限位移旋量矩阵的微分 134

5.8.2 se(3)到SE(3)的指数映射 137

5.9 有限位移旋量表示的Chasles运动分解 138

5.9.1 实现刚体位移的伴随作用 138

5.9.2 有限位移旋量算子的几何量 139

5.9.3 有限位移旋量表示的Chasles运动执行过程 140

5.10 旋量代数、李群与李代数的关联论 142

5.10.1 旋量代数、李群与李代数、有限位移旋量、四元数代数的关联 142

5.10.2 李群、李代数与有限位移旋量、瞬时旋量关联图 143

5.10.3 有限位移旋量、瞬时旋量、李群及李代数发展史 144

参考文献 145

第二篇 旋量系理论及机构约束与自由运动 151

第六章 互易性与旋量系 151

6.1 旋量的互易性 151

6.1.1 几何特性与物理含义 151

6.1.2 运动与约束中的互易关联 153

6.2 旋量的相关性 154

6.2.1 旋量相关的充分必要条件 155

6.2.2 两个旋量的相关性 156

6.2.3 具有相同旋距的三个旋量的相关性 157

6.2.4 具有相同旋距的四个、五个与六个旋量的相关性 159

6.2.5 旋量算子的不变性 161

6.3 旋量系、基本集与张成多重集 162

6.3.1 旋量系 162

6.3.2 旋量系的集合运算 163

6.3.3 旋量系转换定理与阶数定律 164

6.3.4 基本集 164

6.3.5 张成多重集 165

6.4 旋量系的组合 166

6.4.1 合成旋量为线矢量的条件 166

6.4.2 二阶旋量系的组合 167

6.4.3 零旋距的三阶旋量系的组合 168

6.4.4 零旋距的四阶旋量系的组合 169

6.4.5 广义方程与合成线矢量的构造 170

参考文献 172

第七章 旋量系关联关系理论 175

7.1 旋量系关联关系定理 175

7.1.1 旋量系与互易旋量系 175

7.1.2 旋量系交集定理 176

7.1.3 旋量系关联关系定理 177

7.2 一阶旋量系与其互易旋量系 180

7.2.1 一阶旋量系关联关系 180

7.2.2 关联关系的识别 181

7.3 二阶旋量系与其互易旋量系 183

7.3.1 空交集 183

7.3.2 部分交集 184

7.3.3 全交集 185

7.3.4 协互易旋量系 186

7.4 三阶旋量系与其互易旋量系 187

7.4.1 空交集 187

7.4.2 一维交集 187

7.4.3 多维交集 188

7.4.4 全交集 188

7.5 具有协互易基的旋量系 189

参考文献 190

第八章 旋量系零空间构造理论 191

8.1 旋量系零空间数学表示 192

8.2 构造一维零空间的矩阵增广法 193

8.3 一维零空间的代数余子式法 194

8.4 五阶旋量系零空间的代数余子式法 196

8.4.1 旋量系的增广 196

8.4.2 互易旋量系的构造 197

8.5 多维零空间构造理论 199

8.5.1 矩阵分块 199

8.5.2 子矩阵增广 200

8.5.3 求解法则 201

8.5.4 移位分块与逐级增广 201

8.6 齐次线性方程组求解理论 203

8.6.1 齐次线性方程组求解法则与步骤 203

8.6.2 基于多维零空间构造理论的求解法则与Gauss-Seidel消元法 205

8.6.3 递归分块与增广 206

8.7 互易旋量系构造理论 207

8.7.1 6-n阶互易旋量系构造方法 207

8.7.2 移位分块以构造三阶、四阶互易旋量系 208

8.7.3 6-n阶互易旋量系构造步骤 212

8.7.4 逐级增广与递归分块 212

8.8 误差分析与算法效率 218

参考文献 220

第九章 旋量系对偶原理 221

9.1 对偶原理 221

9.1.1 互易与对偶 221

9.1.2 并联机构运动旋量空间与力旋量空间的交并集对偶原理 222

9.1.3 串联机构与并联机构旋量空间的对偶原理 223

9.1.4 刚体抓持、并联机构和串联机构对偶原理一览表 225

9.2 运动支链旋量系与基本旋量系 225

9.2.1 运动支链旋量系 226

9.2.2 四个基本旋量系 226

9.3 基本旋量系的对偶定理 227

9.3.1 基本旋量系的互易关系定理及其对偶性 227

9.3.2 基本旋量系的从属关系定理及其对偶性 228

9.3.3 基本旋量子空间的从属与互易关联结构 228

9.4 Sarrus连杆机构中机构运动与平台约束的对偶性 229

9.4.1 支链运动旋量系与机构运动旋量系 229

9.4.2 支链约束旋量系与运动平台约束旋量系 230

9.4.3 运动平台旋量系与机构旋量系的交集 231

9.5 可展球体机构的对偶特性 232

9.5.1 扩展Sarrus机构 233

9.5.2 n－支链平台单元 234

9.6 瞬心与Watt六杆机构 238

9.6.1 Aronhold-Kennedy定理的向量表示 238

9.6.2 瞬心的自反性与传递性 239

9.6.3 对称杆件的瞬心 240

参考文献 242

第十章 旋量系分解理论及约束与自由运动 245

10.1 约束与刚体抓持 246

10.1.1 约束特性 246

10.1.2 约束力与外力 247

10.1.3 扩展抓持矩阵与约束力分析 248

10.2 约束与活动度 250

10.3 公共约束旋量系与其多重集 252

10.4 互补约束旋量系与其多重集 253

10.5 约束旋量系分解定理 254

10.5.1 输出杆件约束旋量多重集与互补约束旋量多重集 254

10.5.2 冗余约束旋量多重集 255

10.5.3 分解定理与分解过程 255

10.6 约束、运动旋量系间以及与多重集的关联关系 256

10.6.1 互补约束旋量系与冗余约束旋量多重集的关联关系 256

10.6.2 约束与运动旋量系以及冗余约束旋量多重集的关联关系 257

10.6.3 约束冗余因子 258

10.6.4 有限位移旋量系、多重集及整周运动 259

10.7 公共约束旋量系与互补约束旋量系的关联关系 259

10.7.1 公共约束、互补约束与输出杆件约束旋量系的关联关系 259

10.7.2 约束旋量系与冗余约束旋量多重集的关联关系 260

10.8 活动度扩展准则 261

10.8.1 基于公共约束与冗余约束的活动度扩展准则 261

10.8.2 基于机构环路的活动度扩展准则 262

10.8.3 活动度扩展准则与旋量系阶数及旋量多重集基数的关联关系 263

10.8.4 基于独立参数的活动度计算公式 264

10.9 冗余约束对机构活动度的影响 264

10.9.1 含公共约束与冗余约束的经典过约束机构 264

10.9.2 典型的过约束并联机构 265

10.9.3 无公共约束的过约束机构 267

10.9.4 非过约束并联机构 269

10.10 闭环运动链的约束与运动旋量系 270

10.10.1 含球面六杆闭环运动链的支链约束旋量系 271

10.10.2 变胞运动链的运动旋量系 272

10.11 约束分布与约束旋量系 274

10.11.1 三球面运动支链并联机构 274

10.11.2 虚拟对称平面 274

10.11.3 约束力在对称平面中的分布 276

10.12 过约束机构的几何约束 278

10.12.1 过约束机构 278

10.12.2 几何约束 279

10.12.3 轴线约束方程 281

参考文献 284

第三篇 旋量代数与几何基础的机构学与机器人学应用 291

第十一章 约束旋量系与机构构型 291

11.1 Schatz连杆机构的约束和运动 292

11.1.1 可逆转的立方体和Schatz连杆机构 292

11.1.2 运动旋量系与约束旋量系 294

11.1.3 中心连杆的运动循环 296

11.2 机构分岔运动中的约束阶数变化 298

11.2.1 约束与活动度以及过渡位形 298

11.2.2 具有一个平移运动的分岔运动分支 300

11.2.3 具有螺旋运动的分岔运动分支 301

11.2.4 具有两个平移运动的分岔运动分支 302

11.3 旋量系与可重构能力 303

11.3.1 3(rT)C(rT)变胞并联机构 304

11.3.2 约束旋量系的演变和机构活动度的变化 306

11.3.3 由可重构引起的约束变化和活动度演化 308

参考文献 311

第十二章 柔度与刚度中的旋量矩阵 315

12.1 机器人的刚度 315

12.1.1 机构的刚度 315

12.1.2 抓持中的刚度 316

12.1.3 柔性接触 316

12.1.4 串联机器人与并联机器人的刚度 317

12.2 抓持的弹性与几何兼容性 317

12.2.1 抓持公式 317

12.2.2 弹性几何兼容性 319

12.3 集成抓持刚度矩阵 321

12.3.1 抓持操作与操作臂的关系 321

12.3.2 集成刚度矩阵 323

12.3.3 集成Jacobian矩阵和集成刚度矩阵的影响 323

12.4 并联机构的刚度 324

12.4.1 刚度映射 324

12.4.2 运动静力学分析 325

12.4.3 全局刚度矩阵的组成以及力旋量与瞬时旋量之间的关系 327

12.4.4 各向同性的扭转刚度与平移刚度 329

12.5 柔度矩阵及其分解 330

12.5.1 板簧支链的柔度 330

12.5.2 伴随变换与板簧支链的Jacobian矩阵 332

12.5.3 三支链刚性连接柔顺平台的柔度模型 334

12.6 各向同性柔度与柔度映射 336

12.6.1 柔度矩阵分解 336

12.6.2 特征柔度与微小变形位移特征旋量的分解 338

12.7 艺术折纸（origami）衍生机构的刚度 338

12.7.1 导向连杆系的集成刚度 339

12.7.2 碰撞锁定机构的组合刚度 340

12.8 欠驱动机器人的刚度耦合 341

12.8.1 刚度与控制 341

12.8.2 运动静力学分析与运动耦合 343

12.8.3 驱动铰链副与无驱动铰链副的刚度耦合 344

12.8.4 刚度和惯性效应 345

参考文献 347

第十三章 并联机构旋量系变异与活动度变化 353

13.1 并联机构四个基本旋量系 355

13.1.1 并联机构支链旋量系 355

13.1.2 平台旋量系和机构旋量系 355

13.2 约束旋量多重集和活动度扩展准则 356

13.2.1 冗余约束旋量多重集 356

13.2.2 公共约束旋量多重集 357

13.3 平台约束旋量系中的公共约束和冗余约束 358

13.3.1 支链的运动旋量系 358

13.3.2 平台约束旋量多重集和公共约束 359

13.4 约束旋量多重集和分岔运动中的活动度变化 361

13.4.1 分岔运动1中的约束旋量多重集 361

13.4.2 分岔运动2中的约束旋量多重集 361

13.4.3 两分岔运动共有运动的平台运动旋量系 362

13.5 机构旋量系与平台旋量系的关联 362

13.6 非对称并联机构中的旋量系和活动度 364

13.7 支链旋量系改变引起的平台运动旋量系变化 366

13.7.1 变胞并联机构支链旋量系 366

13.7.2 变胞并联机构平台旋量系的变化 368

13.8 冗余驱动并联机构 370

13.8.1 平台构型方程 371

13.8.2 奇异规避 373

13.8.3 局部灵巧度的改进 374

参考文献 376

第十四章 多指灵巧手的几何学与旋量矩阵 383

14.1 变胞活动手掌运动的几何分析 384

14.1.1 手指操作平面 384

14.1.2 手指操作平面的几何学以及与手掌运动的关联 386

14.2 高斯映射与姿态直纹面 388

14.3 变胞多指灵巧手的手掌与灵巧手工作空间 390

14.3.1 变胞手掌工作空间 390

14.3.2 变胞多指灵巧手工作空间 391

14.4 变胞多指灵巧手的运动特征方程 392

14.5 Jacobian矩阵和手指运动副速度 394

14.5.1 基于互易性的Jacobian矩阵与多指灵巧手手指约束方程 394

14.5.2 基于互易性的奇异值分解与手指关节速度 397

14.6 基于奇异值的手指角位移分析 398

14.7 变胞仿人灵巧手的捻转运动 398

参考文献 400

附录 405

索引 409

后记 435