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一 数学概论 3

数学 3

数学的特点 3

数学的分类 3

世界通用的数学分类目录 4

中学数学 6

数学方法 7

数学与数学教育内容的现代化 7

数学哲学 8

二 数学及其教学 13

代 数学 13

代数学 13

集合论 15

集合 16

模糊集 17

元素 17

空集 17

有限集 17

无限集 17

子集 17

真子集 18

有界数集 18

开集 18

闭集 18

可数集 19

可列集 19

并集 19

交集 19

补集 20

全集 20

余集 20

差集 20

对称差 21

对偶原则 21

集合的分划 21

有序偶 21

直积 21

Venn图 22

幂集 22

集合的运算 22

集合的教学 22

数系 23

自然数系 24

皮亚诺公理 25

零 25

零元素 26

整数系 26

整数环 28

分数 28

带分数 29

整除 29

因数 29

倍数 29

因式 29

倍式 29

公约数 29

公因式 29

最简分数 29

最简分式 29

约分 29

最大公约数 30

最高公因式 30

分式的延拓原理 30

公倍数 30

公倍式 30

最小公倍数 30

最低公倍式 31

通分 31

小数 31

有理数系 32

有理数域 34

有理数的教学 34

公度 35

无理数 35

实数系 38

实数域 39

代数数 39

超越数 39

复数系 40

复数域 42

复数集 42

虚数单位 42

虚数 42

共轭复数 42

复平面 42

模 42

辐角 42

辐角的主值 42

复数的三角形式 42

复数的代数形式 43

复数的指数形式 43

n次单位根 43

复数的教学 43

超复数 44

解析式 46

代数式 46

代数运算 46

单项式 46

多项式 46

有理整式 47

整式 47

带余除法 47

商 47

余数 47

商式 47

余式 47

可约多项式 47

不可约多项式 48

既约多项式 48

因式分解 48

有理式 48

分式 48

n次算术根 48

根式 48

无理式 48

幂 49

指数 49

对数 49

利息的计算 51

代数式的教学 53

方程 53

同解方程 54

方程的同解变形 54

解方程 54

增根 55

失根 55

整式方程 55

分式方程 55

有理方程 55

无理方程 55

代数方程 55

线性方程 55

一元一次方程 55

一元二次方程 56

判别式 57

韦达定理 57

高次方程 58

二项方程 58

双二次方程 58

准二次方程 58

三项方程 58

倒数方程 58

超越方程 59

方程组 60

方程组的解 60

解方程组 60

同解方程组 60

二元二次方程组 60

方程观点及其教学 61

不等式 62

不等式的解 62

不等式组 63

同解不等式 63

同解不等式组 63

一元一次不等式 63

一元一次不等式组 63

一元二次不等式 63

一元n次不等式 64

一元高次不等式 65

分式不等式 65

无理不等式 65

指数不等式 66

对数不等式 66

绝对值不等式 66

解不等式的教学 67

平均不等式 67

算术平均数 70

几何平均数 70

调和平均数 70

加权平均不等式 70

柯西不等式 70

赫尔特不等式 71

闵可夫斯基不等式 73

契比雪夫不等式 75

贝努利不等式 76

利用微积分方法证明不等式 76

不等式证明的教学 78

向量 79

矢量 80

标量 80

数量 80

向量的模 80

绝对值 80

自由向量 80

共线向量 80

负向量 80

零向量 80

单位向量 80

向量相等 80

向量的表示 80

向量的加法 81

平行四边形法则 81

合向量 81

分向量 81

三角形法则 82

多边形法则 82

向量的减法 82

向量的数乘 82

向量的数量积 82

向量的向量积 83

外积 83

叉积 83

混合积 83

数量向量积 84

向量的应用 84

映射 87

对应 88

多值映射 88

常值映射 88

恒等映射 88

单射 89

满射 89

一一映射 89

双射 89

复合映射 89

逆映射 89

函数 89

变量 91

自变量 91

因变量 91

常量 91

定义域 91

值域 91

单值函数 91

多值函数 91

区间 92

显函数 92

隐函数 92

分段函数 92

函数概念的教学 92

奇函数与偶函数 96

单调函数 96

严格单调函数 97

函数的极值 97

函数的最值 98

凸函数 98

凹函数 98

反函数 98

周期函数 99

有界函数 100

无界函数 100

基本初等函数 100

初等函数 100

代数函数 100

超越函数 100

有理函数 100

无理函数 101

复合函数 101

正比例函数 101

反比例函数 101

一次函数 102

截距 102

二次函数 102

二次函数的教学 103

幂函数 105

有理数指数幂函数 105

无理数指数幂函数 107

复数指数幂函数 108

指数函数 108

对数函数 108

幂函数、指数函数、对数函数的教学 109

取整函数 110

符号函数 110

狄利克雷函数 110

数列 111

子数列 111

数列的通项公式 111

有穷数列 112

无穷数列 112

有界数列 112

单调数列 112

摆动数列 112

等差数列 112

等差中项 113

等差数列的通项公式 113

等差数列前n项之和的公式 113

等比数列 113

等比中项 114

等比数列的通项公式 114

等比数列前n项之和的公式 114

差分数列 115

一阶差分数列 115

二阶差分数列 115

n阶差分数列 115

高阶等差数列 115

递归数列 116

线性递归数列 116

斐波那契数列 117

调和数列 118

分期付款的计算公式 119

等差等比数列的教学 119

加法原理 121

乘法原理 121

排列 122

环状排列 122

重复排列 123

不尽相异元素的排列 123

组合 123

重复组合 124

排列组合的教学 124

二项式定理 125

杨辉三角形 126

多项式定理 127

二项式定理的教学 128

数学归纳法 129

数学归纳法的教学 130

三 角学 133

三角学 133

角的概念的推广 134

象限与象限角 135

弧与角的度量 135

三角函数 136

三角函数的性质 138

正弦曲线的变换 139

振幅变换 140

周期变换 140

相位变换 140

三角函数值 140

三角公式 140

同角三角函数公式 144

诱导公式 144

加法定理 144

和角公式 144

倍角公式 144

半角公式 144

和差化积 144

积化和差 144

三角恒等式 144

万能公式 145

三角公式的教学 145

正弦定理 147

余弦定理 147

射影定理 148

正切定理 148

半角定理 149

模尔外德公式 149

解三角形及其教学 150

反三角函数 151

主值区间 153

反三角函数间的关系 153

三角方程 154

反三角函数与三角方程的教学 155

几 何学 157

几何学 157

中学平面几何 160

平面几何入门教学 161

几何图形 164

直线 164

射线 165

线段 165

距离 165

公度 166

折线 166

角 167

平角 168

周角 168

直角 168

锐角 169

钝角 169

邻角 169

补角 169

邻补角 169

余角 169

对顶角 169

垂直 169

平行 170

平行线 170

角平分线 170

垂线 170

垂直平分线 170

中垂线 170

斜线 170

三线八角 170

同位角 171

内错角 171

同旁内角 171

同旁外角 171

平行公理 171

非欧几里得几何学 172

双曲几何 173

椭圆几何 173

三角形 173

三角形的内角 174

三角形的外角 174

等腰三角形 174

等边三角形 174

正三角形 174

锐角三角形 174

直角三角形 174

钝角三角形 174

斜三角形 174

三角形的角平分线 174

三角形的中线 174

三角形的高 174

三角形的中位线 174

全等三角形 174

全等三角形的教学 175

勾股定理 177

陈子定理 180

商高定理 180

三角形的五心 180

外心 181

内心 181

重心 181

垂心 181

旁心 181

海仑公式 182

三斜求积公式 182

多边形 182

正多边形 183

平行四边形 183

矩形 184

菱形 184

正方形 184

梯形 184

圆 185

弦 186

弦心距 186

弧 186

垂径定理 186

圆心角 186

圆周角 186

弦切角 186

直线和圆的位置关系 187

切线 187

割线 187

圆幂定理 187

相交弦定理 188

割线定理 188

切割线定理 188

圆和圆的位置关系 188

两圆外离 189

两圆外切 189

两圆相交 189

两圆内切 189

两圆内含 189

圆心距 189

公共弦 189

连心线 189

公切线 189

连接 189

多边形的外接圆 190

圆的内接多边形 190

内对角 190

圆的内接四边形 190

多边形的内切圆 190

圆的外切多边形 190

圆的外切四边形 190

圆周长 191

圆面积 191

圆周率 191

扇形 193

弓形 194

轨迹 194

基本轨迹 194

尺规作图 195

作图公法 195

基本作图 195

尺规作图可能问题 197

尺规作图不能问题 197

几何三大问题 198

交轨法 198

三角形奠基法 198

等分圆周问题 198

等周问题 198

黄金分割 199

中外比 199

几何变换 199

合同图形 199

合同变换 200

反射 200

平移 200

旋转 201

中心对称 201

轴对称 201

平面对称 201

相似三角形 201

相似多边形 202

相似图形 202

相似变换 203

位似图形 203

位似变换 204

反演变换 204

相似三角形的教学 205

中学立体几何及其教学 206

空间多边形 209

平面 209

平面的教学 210

异面直线 212

异面直线所成的角 213

异面直线的公垂线 213

异面直线的距离 213

异面直线互相垂直 213

直线和平面平行 213

直线和平面垂直 213

平面的垂线 214

直线的垂面 214

点到平面的距离 214

直线和平面的距离 214

点在平面上的射影 214

斜线在平面上的射影 214

直线和平面所成的角 214

三垂线定理 214

三垂线定理的教学 215

平面和平面平行 218

两个平行平面的距离 218

二面角 219

平面和平面垂直 219

多面角 219

三面角 220

直三面角 220

多面体 220

多面体的欧拉定理 220

正多面体 221

棱柱 226

直棱柱 226

斜棱柱 226

正棱柱 226

平行六面体 226

长方体 227

正方体 227

棱锥 227

正棱锥 228

棱台 228

正棱台 229

拟柱体 229

楔形 229

旋转面 229

旋转体 230

圆柱 230

圆锥 230

圆台 231

球 231

球的大圆 232

球的小圆 232

球面距离 232

球冠 232

球带 233

球缺 233

球弓形 233

球台 233

球盘 233

球扇形 233

球心角体 233

球的切面 234

球面几何 234

球面角 234

球面多边形 234

球面三角形 234

球面三角形的角平分线 234

球面二角形 235

球面过剩 235

长度 235

面积 236

体积 238

容积 238

有向直线 238

有向线段 238

定比分点 239

坐标系 239

平面直角坐标系 239

平面斜角坐标系 240

曲线的方程 240

曲线和方程概念的教学 241

直线的倾角 243

斜率 243

截距 244

直线方程 244

点斜式 245

斜截式 245

两点式 245

截距式 245

法线式 245

参数式 245

一般式 245

直线系 245

直线束 246

圆方程 246

圆的切线方程 247

圆系 248

椭圆 248

双曲线 249

抛物线 250

渐近线 251

法线 251

圆锥曲线 251

圆锥截线 254

焦点 254

准线 254

圆锥曲线的弦 254

焦点弦 254

圆锥曲线的直径 254

等边双曲线 254

共轭双曲线 254

通径 255

焦半径 255

焦参数 255

圆锥曲线系 255

圆锥曲线的光学性质 257

圆锥曲线的教学 257

坐标变换 262

平面极坐标系 263

极坐标的教学 264

参数方程 68

离心角 269

参数方程的教学 270

悬链线 273

曳物线 273

摆线 273

次摆线 274

内摆线 275

外摆线 276

内次摆线 276

外次摆线 277

螺线 278

阿基米德螺线 278

等速螺线 278

圆的渐开线 278

蔓叶线 279

心脏线 279

双纽线 280

玫瑰线 280

蚌线 281

蜗线 282

概念 283

定义 285

划分 287

判断 288

命题 291

命题的四种形式 291

等效命题 292

分断式命题 292

充分条件 292

必要条件 292

充分必要条件 293

定理 293

公理 293

推理 293

演绎推理 293

直言三段论 294

假言三段论 294

选言推理 295

归纳推理 296

类比推理 298

证明 298

演绎证法与归纳证法 299

分析法和综合法 299

直接证法和间接证法 299

反证法 301

归谬法 301

穷举法 301

同一法 301

数理逻辑 301

真假值 301

真值表 301

命题联词 301

否定 302

蕴涵 302

析取 302

合取 303

等价 303

离散数学 304

数论 304

素数 306

质数 308

合数 308

梅森数 308

孪生素数 308

不定方程 308

同余 309

中国剩余定理 310

图论 310

图 310

简单图 311

有向图 311

无向图 311

n阶完全图 311

子图 311

链 312

圈 312

连通图 312

树 313

哈密顿问题 313

拉姆赛数 314

四色定理 315

组合论 316

枚举法 317

容斥原理 317

富比尼原理 318

递推关系 319

母函数 320

抽屉原则 321

面积重迭原则 323

平均数原则 323

格点 324

格点多边形 324

凸图形 324

函数方程 324

概率与统计 326

随机现象 326

随机试验 326

样本点 326

样本空间 326

随机事件 326

必然事件 327

不可能事件 327

随机变量 327

交事件 327

并事件 327

逆事件 327

不相容事件 327

互斥事件 327

相容事件 327

独立事件 327

概率 328

概率的加法定理 329

概率的乘法定理 330

条件概率 330

全概率公式 330

贝叶斯公式 330

概率分布函数 331

随机变量的分布函数 331

二项分布 331

正态分布 331

母体 332

个体 332

样本 332

样本的容量 332

统计量 332

样本均值 332

样本方差 332

样本k阶矩 333

样本k阶中心矩 333

频数分布表 333

直方图 333

中位数 333

众数 333

极差 334

误差 334

数学期望 334

方差 334

相关分析 335

相关系数 335

回归分析 335

假设检验 336

实用教育统计方法 336

微 积分 340

微积分学 340

中学里微积分学的教学 340

有限与无限 341

极限 341

极限的四则运算 342

函数的连续性 342

导数与微分 343

导数的求法 343

导数的几何意义 344

微分中值定理 344

原函数和不定积分 344

定积分的概念 345

微积分学基本定理 345

积分学的应用 346

行列式和矩阵 348

n维向量和n维向量空间 348

n维欧氏空间 348

线性方程组 349

高斯消去法 349

线性方程组的行列式 349

克来姆法则 350

矩阵 352

矩阵的运算 353

矩阵的初等变换 354

矩阵的秩 354

线性变换 355

平面上旋转变换的矩阵 356

沿过原点直线作反射变换的矩阵 357

几种特殊变换的矩阵 358

二次型的矩阵 358

矩阵的特征值和二次曲线的标准形 359

行列式与矩阵的教学 361

非线性数学简介 362

混沌现象 363

分维几何 364

三 数学史、数学名题和数学家 369

世界数学史 369

古埃及数学 369

巴比伦数学 370

古希腊数学 371

几何原本 372

17世纪数学 373

18世纪数学 375

19世纪数学 377

20世纪数学简述 381

中国数学史 385

中国古典数学 385

20世纪中国数学简述 389

中国古代算法 391

今有术 391

盈不足术 393

更相减损术 394

开方术 395

方程术 395

正负术 397

勾股术 397

重差术 398

割圆术 399

天元术 400

四元术 400

招差术 400

大衍求一术 401

垛积术 402

出入相补原理 403

中国古代算书 404

九章算术 404

算经十书 406

数书九章 408

测圆海镜 408

四元玉鉴 408

数理精蕴 408

算法统宗 408

中国古算题 409

百鸡问题 409

鸡免同笼问题 409

方程问题 409

物不知数问题 409

盈不足问题 410

五家共井问题 410

测望海岛问题 411

著名数学问题和定理 412

三大作图问题 412

希波克拉底定理 412

黄金分割 413

托勒密定理 413

梅内劳斯定理 414

帕普斯定理 414

蜂房问题 414

德沙格定理 415

帕斯卡六边形定理 416

施泰纳直尺作图问题 416

马索若尼圆规问题 417

多面体的欧拉定理 417

欧拉线 417

九点圆定理 417

塞瓦定理 418

斯图尔特定理 418

七桥问题 418

布罗卡尔点 419

算术基本定理 420

圆周17等分问题 420

拿破仑定理 420

西摩松线 421

费马大定理 421

比贝巴赫猜想 421

科克曼女生问题 422

黎曼猜想 422

庞加莱猜想 423

哥德巴赫猜想 423

四色问题 424

连续统假设 424

中外数学家 425

赵爽 425

刘徽 425

祖冲之 425

祖暅 426

王孝通 426

李淳风 426

一行 426

贾宪 427

李冶 427

秦九韶 427

杨辉 428

郭守敬 428

朱世杰 428

程大位 429

徐光启 429

李之藻 429

梅文鼎 429

年希尧 430

明安图 430

项名达 430

戴煦 430

李善兰 431

夏鸾翔 431

华蘅芳 432

姜立夫 432

胡明复 432

李俨 432

钱宝琮 433

陈建功 433

熊庆来 433

许宝騄 434

闵嗣鹤 434

关肇直 434

华罗庚 435

江泽涵 435

苏步青 436

陈省身 436

吴文俊 437

陈景润 437

陆家羲 438

丘成桐 438

泰利斯 438

毕达哥拉斯 439

欧多克索斯 439

欧几里得 440

阿基米德 440

埃拉托斯散 441

阿波罗尼斯 441

海仑 441

托勒密 441

梅内劳斯 442

丢番图 442

帕普斯 442

希帕蒂娅 442

阿耶婆多 442

婆罗摩笈陀 443

阿尔花拉子米 443

巴塔尼 443

奥玛尔·海雅姆 444

婆什迎罗 444

斐波那契 444

纳速拉丁 444

阿尔·卡西 445

雷基奥蒙坦 445

帕巧利 445

斯蒂费尔 445

塔塔里亚 446

卡尔达诺 446

斐拉里 446

邦贝利 446

韦达 447

耐普尔 447

布里格斯 447

德沙格 448

笛卡儿 448

卡瓦列利 448

费马 449

罗伯瓦尔 449

沃利斯 450

帕斯卡 450

惠更斯 450

巴鲁 451

格雷戈里 451

关孝和 451

牛顿 452

莱布尼兹 452

贝努利家族 453

洛彼塔 454

棣莫弗 454

泰勒 455

哥德巴赫 455

克莱姆 455

欧拉 456

辛普森 456

克莱罗 456

达朗贝尔 457

兰伯特 457

华林 458

拉格朗日 458

蒙日 459

拉普拉斯 459

勒让德 460

卡诺 460

傅立叶 461

高斯 461

泊松 462

丢班 462

彭色列 462

柯西 462

罗巴切夫斯基 463

施泰纳 463

阿贝尔 464

雅可比 464

狄里克雷 464

哈密顿 465

刘维尔 465

伽罗瓦 465

外尔斯特拉斯 466

黎曼 466

戴德金 466

李 467

康托尔 467

克莱因 467

柯瓦列夫斯卡娅 468

庞加莱 468

希尔伯特 468

嘉当 469

罗素 469

勒贝格 469

诺特 470

魏尔 470

柯朗 471

维纳 471

冯·诺伊曼 471

图灵 472

波利亚 472

弗赖登塔尔 473

四 数学教育导论 477

数学教育学的一般理论 477

数学教育的现代发展 477

数学教育的目标 478

中小学数学课程和教材的演化 479

中小学数学课程改革的国际研究 482

数学教育研究的论文写作 483

数学教育研究课题的国际分类 484

大众数学 486

问题解决 487

非形式化 488

民族数学 488

数学教育心理研究 489

1980年以来中国数学教学方法的改革 490

中学生数学竞赛 492

计算机与数学教育 494

数学教育评价的国际进展 495

IEA的国际数学教育调查 497

我国小学和初中数学和科学教育成就国际比较 508

美国中小学数学最新课程标准 512

英国的《Cockcroft报告》 514

数学素质教育 516

建构主义理论 517

在数学教学中应强化的几种观念 519

国际数学教育委员会（ICMI） 522

中国教育学会数学教学研究会 525

全国高师数学教育研究会 528

五 数学公式 533

初等代数 533

1.代数式 533

（1）整式的乘法和因式分解公式 533

（2）分式 533

（3）比例的基本性质和主要变形 536

（4）根式 536

2.代数方程（组） 537

（1）求解公式 537

（2）关于方程的讨论 538

（3）方程的根与系数的关系 539

3.不等式 539

（1）不等式的基本性质 539

（2）含有绝对值的不等式的性质 539

（3）常用基本不等式 540

（4）一些代数不等式（组）的解 540

4.指数和对数 541

（1）幂的运算法则 541

（2）对数 542

5.数列 542

（1）等差数列和等比数列 542

（2）线性递归数列 543

（3）一些高阶等差数列的求和公式 543

6.排列、组合和二项式定理 544

（1）加法原理和乘法原理 544

（2）排列数和组合数的计算公式 545

（3）组合数的主要公式 545

（4）二项式定理 546

7.复数 546

（1）复数的运算 546

（2）复数的模、共轭 547

平面三角 547

1.三角函数的基本公式 547

（1）特殊角的三角函数值 547

（2）三角函数的诱导公式（简化公式） 548

（3）同角的三角函数的基本关系式 548

2.和角公式及其推论 550

（1）和角公式（加法定理） 550

（2）倍角公式 551

（3）半角公式 551

（4）和差化积公式 552

（5）积化和差公式 553

（6）三角函数的乘幂公式 553

（7）利用辅助角化代数和为三角积 554

（8）三角函数值的常用近似计算公式 554

3.反三角函数 555

（1）反三角函数间的相互关系式 555

（2）反三角函数的基本公式 557

（3）反三角函数的和差 558

（4）反三角函数的“二倍”与“一半”的公式 59

（5）反三角函数的幂级数展开式 559

4.三角方程和三角不等式 560

（1）基本三角方程的通解 560

（2）一般三角方程的解法 561

（3）最简三角不等式的解集 563

（4）几个基本的三角不等式 563

5.解三角形 564

（1）三角形基本元素间的关系 564

（2）解三角形的基本问题的解法 565

（3）三角形的角所满足的部分三角恒等式 566

（4）三角形的角所满足的部分三角不等式 567

平面几何 567

1.三角形 567

（1）三角形的边角关系计算 568

（2）三角形的面积计算 568

（3）其他元素的计算 569

2.四边形 570

（1）任意四边形的面积计算 570

（2）特殊四边形的有关计算 570

3.凸n边形 571

（1）n边形的有关计算 571

（2）正n边形的有关计算 571

（3）一些特殊正n边形的有关计算 572

4.圆 574

立体几何 575

1.棱柱、棱锥和棱台 575

2.圆柱、圆锥和圆台 575

平面解析几何 576

1.坐标系 576

（1）几种坐标系的转换 576

（2）坐标变换 576

2.点和直线 577

（1）距离、斜率、定比分点 577

（2）三点共线、质心 577

（3）直线方程 578

（4）点到直线的距离 579

（5）直线和直线的位置关系 579

3.二次曲线 579

（1）圆和圆的切线的方程 579

（2）椭圆、双曲线和抛物线的标准方程 581

（3）二次曲线的分类、化简 582

4.其他常见的平面曲线 583

微 积分 583

1.极限 583

（1）极限的运算法则 583

（2）常见的数列的极限 583

（3）常见的函数的极限 584

2.微分 584

（1）求导（微）法则 584

（2）常用求导（微）公式 585

（3）高阶导数的通项公式 587

（4）近似计算公式 587

3.积分 588

（1）不定积分运算法则 588

（2）常用不定积分表 588

（3）牛顿-莱布尼兹公式 590