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第一章 引言 1

第二章 不适定问题及解决不适定问题的数值方法 3

2.1 绪论 3

2.2 数学问题的适定性 4

2.3 几个泛函分析基本概念 5

2.4 度量空间、赋范空间、欧几里得空间 6

2.5 不适定问题示例 14

2.6 正则化算法的概念 16

2.7 紧致空间上的不适定问题 20

2.8 极值问题（最优化问题） 23

2.9 最优化问题的可解性及最简单的极值充要条件 24

2.10 凸泛函 25

2.11 凸规划问题的可解性 29

2.12 凸性和强凸性标准 32

2.13 最小二乘法和伪逆法 36

2.14 最小化序列 38

2.15 部分一维极值问题求解方法 39

2.15.1 黄金分割法 39

2.15.2 二次逼近法 40

2.16 最速下降法 40

2.17 共轭梯度法 42

2.18 预条件迭代 47

2.19 非单调迭代加速 48

2.20 牛顿法 51

2.21 零阶法 53

2.21.1 坐标下降法 53

2.21.2 虎克-捷夫法 53

2.21.3 Nelder-Mead法（沿变形多面体搜索） 55

2.21.4 随机搜索法 58

2.21.5 遗传算法 59

2.22 条件梯度法 60

2.23 共轭梯度投影法 61

2.24 解决特殊形式函数紧致集不适定问题的数值方法 63

2.25 在源可表示情况下的不适定问题 66

2.26 吉洪诺夫正则化方法 67

2.27 广义偏差原则 69

2.28 不相容不适定问题 71

2.29 解决第一类弗雷德霍姆积分方程的数值方法 72

2.30 卷积型方程 74

2.31 拟牛顿法 76

2.32 数值截断奇异值分解（NTSVD）正则化 80

2.33 l1空间稀疏反演 81

2.33.1 l1极小化问题 81

2.33.2 内点算法 82

2.33.3 投影梯度法 84

第三章 积分近似方法 88

3.1 近似方法的基本原理 88

3.2 积分表示法的数学表达式 89

3.3 基本近似结构（S近似） 91

3.4 局部的S近似 95

3.5 全局和区域性的S近似 97

3.6 F近似 98

第四章 重力测量学中的正问题和反问题 103

4.1 重力测量学的正问题 104

4.1.1 重力测量正问题的提出 108

4.1.2 地球物理正问题示例 108

4.2 重力测量学反问题 113

4.2.1 用于解决在地球物理学反问题中产生的线性方程组的数值方法 115

4.2.2 重力测量中反问题求解示例 117

第五章 磁法勘探中的正问题和反问题 123

5.1 磁法勘探中的正问题 123

5.1.1 磁势理论中的基本原理 124

5.1.2 磁法勘探中正问题的命题 125

5.1.3 磁法勘探中的正问题举例 125

5.2 磁法勘探中的反问题 129

第六章 解决重力磁力测量反问题的新方法 134

6.1 非线性势函数反问题的积分方程 134

6.1.1 竖直圆柱 137

6.1.2 倾斜圆柱 139

6.1.3 水平圆柱 140

6.1.4 多连通区域 140

6.2 应用紧致容量概念的基圆柱还原稳定方法 141

6.2.1 一些定义 141

6.2.2 基圆柱的势函数反问题命题：第一类 143

6.2.3 基圆柱的势函数反问题命题：第二类 145

6.3 还原椭球的稳定算法 147

6.3.1 对于椭球的势函数反问题命题：第一类 147

6.3.2 对于椭球的势函数反问题命题：第二类 152

第七章 地震勘探问题初步 154

7.1 地震勘探中的正问题 154

7.2 地震勘探中的反问题 157

7.3 数值模拟 164

7.4 进一步说明 167

第八章 离散地震卷积模型与反演 168

8.1 地震卷积模型 168

8.2 子波 169

8.3 噪音 177

8.4 波阻抗反演 181

8.5 多通道反卷积 185

8.6 时间参数反演 188

8.7 偏移及反演成像 189

8.7.1 波动方程、射线解及偏移概述 189

8.7.2 偏移与反演 197

8.7.3 最小二乘偏移 202

8.7.4 偏移反演成像的正则化方法 203

8.8 压缩反演 205

8.8.1 基础知识 205

8.8.2 稀疏变换 206

8.8.3 采样方法 227

8.8.4 正则化模型 228

8.8.5 数值算法 230

第九章 地表参数反演问题 233

9.1 定量遥感模型反演的离散不适定性 234

9.2 线性核驱动BRDF模型及其离散不适定性 236

9.2.1 线性核驱动BRDF模型 236

9.2.2 离散不适定性 238

9.3 计算方法 238

9.3.1 对解施加先验约束 238

9.3.2 正则化与最优化技巧 239

9.4 地表参数反演实例 241

9.4.1 地面数据 241

9.4.2 遥感数据 246

第十章 气溶胶粒子谱分布反演问题 249

10.1 问题概述 249

10.1.1 谱分布函数的一般描述 250

10.1.2 常用谱分布 251

10.2 瑞雷散射 253

10.3 米散射 253

10.4 光学厚度 254

10.4.1 消光系数和光学厚度 254

10.4.2 大气光学厚度 255

10.5 定量反演气溶胶粒子大小分布函数的研究现状 256

10.6 约束最小二乘法 259

10.6.1 第一类算子方程 260

10.6.2 最小二乘偏差解方法 260

10.7 反演气溶胶粒子大小谱分布的正则化方法 262

10.7.1 W1,2空间中的正则化 262

10.7.2 积分方程的离散化 263

10.8 迭代正则化和最优化 264

10.9 气溶胶粒子大小谱分布的反演 266

10.10 数值例子 267

后记 271

参考文献 273

索引 283

图1.1 一个典型的信息系统结构 1

图2.1 严格凸函数 26

图2.2 非严格凸函数 26

图2.3 非单调梯度下降方法的迭代指数的混沌迭代特性 50

图2.4 非单调梯度下降方法的迭代指数的混沌迭代特性 50

图2.5 正则单纯形 55

图2.6 单纯形反射操作图解 56

图2.7 单纯形扩张操作图解 57

图2.8 单纯形压缩操作图解 57

图2.9 单纯形压缩操作图解 57

图2.10 （a）y＝fe（x）,x∈［－0.5,0.5］;（b）y＝fθ（x）,x∈［－0.5,0.5］ 86

图4.1 △g和Txz的曲线图 110

图4.2 水平环形圆柱体坐标分解图 111

图4.3 直角平行六面体下坐标分解图 112

图4.4 棱柱体引力异常曲线 113

图4.5 模拟地段No.1重力测量点的分布图 118

图4.6 模拟地段No.1异常重力场图 118

图4.7 模拟地段No.2异常重力场图 119

图4.8 模拟地段No.1重力场差值图——S近似 120

图4.9 模拟地段No.2重力场差值图——S近似 121

图5.1 磁场投影分解 127

图5.2 磁场分量几何关系 127

图5.3 磁力测量点分布图 131

图5.4 磁力测量区段的地表地形图 131

图5.5 磁场测量结果△Tα曲线图 132

图5.6 根据S近似结果绘制的磁场△Tα曲线图 132

图5.7 磁场差值δ△Tα曲线图 133

图7.1 折射波与反射波传播示意图 156

图7.2 精确解？（ξ）与近似解？（ξ） 166

图8.1 电震卷积模型示意图 169

图8.2 极小相位子波 170

图8.3 零相位雷克子波 171

图8.4 Morlet子波 172

图8.5 频率域Morlet子波 173

图8.6 Sinc函数 173

图8.7 矩形函数 174

图8.8 谐振荡相位为0 时的盖伯子波函数 175

图8.9 谐振荡相位为？时的盖伯子波函数 175

图8.10 电震子波的初等估计 177

图8.11 带随机噪音的共炮地震记录 180

图8.12 谱分解模拟地震记录 181

图8.13 规则陆地表地震信号拾取 188

图8.14 中心射线坐标示意图：其中Ox1为中心射线 196

图8.15 高斯束形状：左边为宽高斯束，中间为非对称上窄下宽高斯束，右边为窄高斯束 196

图8.16 高斯束渐近求和：射线与参考面相交的点作为近轴逼近高斯束的参考点 196

图8.17 地震波干涉法VSP射线路径：gA为虚拟震源 197

图8.18 速度模型（SEG Salt） 199

图8.19 曲射线追踪算得的走时场 200

图8.20 叠前时间偏移成像结果 200

图8.21 地下绕射介质模型 201

图8.22 叠后时间偏移成像结果 201

图8.23 对于点散射模型直接偏移结果 204

图8.24 对于点散射模型正则化偏移反演结果 204

图8.25 小波生成函数ψa,b（t） 209

图8.26 脊波生成函数ψa,b,θ（t） 210

图8.27 脊波变换示意图 211

图8.28 曲线波概念图 212

图8.29 曲线波变换示意图 213

图8.30 曲线波表示多尺度多方向各向异性变换示意图 214

图8.31 小波基函数的正方形支撑域来逼近曲线示意图 214

图8.32 轮廓波基函数的长条形支撑域来逼近曲线示意图 215

图8.33 方向滤波器组轮廓波变换示意图 215

图8.34 拉普拉斯金字塔进行多尺度子空间分解示意图 216

图8.35 方向滤波器组频率域分割示意图：l＝3对应着8个楔形频带 216

图8.36 多尺度多方向子空间分解示意图 217

图8.37 子空间？网格示意图 218

图8.38 同尺度、位置和方向下的束波示意图：S划分为22j个方块，每个方块的边长为2-j 219

图8.39 二进方块S内的任何一条线段由束波链来逼近示意图：每一条链内的束波数不超过O（log2n） 219

图8.40 束波积分变换示意图 220

图8.41 四叉树结构示意图 222

图8.42 小波空间的四叉树分解示意图 223

图8.43 第二代条带波变换过程示意图 223

图8.44 楔形波的定义 224

图8.45 任意二进方块图像的楔形波表示：每个边缘波都是连接边沿的一系列点形成的，每条边有M＝3个顶点 224

图8.46 楔形波逼近水平模型（渐近分布函数）（虚线）示意图：MWR 225

图8.47 面波变换结构示意图 225

图8.48 剪切波变换结构示意图 227

图8.49 规则采样 227

图8.50 随机采样 228

图8.51 地震波场信息缺失情形 229

图8.52 压缩反演恢复的地震波场 230

图9.1 由Kimes果园草数据反演可见光波段反照率的误差棒随观测数据增加而变化的情况 243

图9.2 由Ranson大豆数据反演可见光波段反照率的误差棒随观测数据增加而变化的情况 244

图9.3 由Parabola白杨数据反演可见光波段反照率的误差棒随观测数据增加而变化的情况 244

图9.4 由Kimes果园草数据反演近红外波段反照率的误差棒随观测数据增加而变化的情况 245

图9.5 由Ranson大豆数据反演近红外波段反照率的误差棒随观测数据增加而变化的情况 245

图9.6 由Parabola白杨数据反演近红外波段反照率的误差棒随观测数据增加而变化的情况 246

图9.7 单次观测MOD021KM.A2001137波段1的BRDF图像 247

图9.8 由NTSVD方法反演得到的单次观测MOD021KM.A2001137波段1的反照率 247

图9.9 由l1空间反演方法得到的单次观测MOD021KM.A2001137波段1的反照率 248

图10.1 （a）后验计算得到的迭代过程正则参数；（b）反演计算得到的气溶胶粒子分布函数与真实的分布函数对比 269

表2.1 三角形坐标的值 56

表4.1 模拟地段No.1的S近似结果 119

表4.2 模拟地段No.2的S近似结果 120

表7.1 系数ak,bk的值 165

表7.2 系数ak,bk的值 165

表7.3 系数ak,bk的值 165

表7.4 系数ak,bk的值 165

表8.1 lp-lq正则化模型选取不同参数p和q的值对RGB多通道图像计算结果的对比：均方根误差（RMSE）,CPU（单位：s） 229

表9.1 地表观测数据 241

表9.2 利用表9.1中的单次观测数据由NTSVD反演方法计算得到的WSAs值与真实的WSAs值（对应的是多角度观测数据）在可见光波段的对比 242

表9.3 利用表9.1中的单次观测数据由NTSVD反演方法计算得到的WSAs值与真实的WSAs值（对应的是多角度观测数据）在近红外波段的对比 242

表9.4 利用表9.1中的单次观测数据由l1空间反演方法计算得到的WSAs值与真实的WSAs值（对应的是多角度观测数据）在可见光波段的对比 242

表9.5 利用表9.1中的单次观测数据由l1空间反演方法计算得到的WSAs值与真实的WSAs值（对应的是多角度观测数据）在近红外波段的对比 243

表10.1 不同噪音水平下的均方根误差 270